Кільця лишків за модулем m

Важливим прикладом фактор-кілець є кільця лишків за модулем , які будемо позначати . Елементами кільця є класи лишків – у один клас лишків входять всі цілі числа, що дають при діленні на один і той самий залишок . Інакше кажучи, два цілих числа і належать одному класу лишків тоді і тільки тоді, коли ділиться на . Отже, є не що інше, як фактор-кільце кільця цілих чисел за ідеалом чисел, кратних : . Операції над елементами – це операції над цілими числами за модулем . У термінах класів лишків їх можна визначити наступним чином:

1) додавання: ;

2) множення: .

Одиниця кільця – [1], нуль – [0], протилежний до елемент – = .

Так як операціїї додавання та множення чисел комутативні, то – комутативне кільце з одиницею, але, взагалі кажучи, не є полем, бо у кільці лишків за модулем некожен ненульовий елемент має обернений.