Основні означення та необхідні відомості з теорії груп та кілець

Л.О. Завадська

ПРИКЛАДНА АЛГЕБРА:

Скінченні поля

Навчальний посібник

КИЇВ – 2010

ЗМІСТ

1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ ТА НЕОБХІДНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ ГРУП ТА КІЛЕЦЬ..........................................................................................4

2. КІЛЬЦЯ ЛИШКІВ ЗА МОДУЛЕМ ...........................................................8

3. КІЛЬЦЯ ПОЛІНОМІВ..................................................................................10

3.1. Поліноми над кільцями....................................................................10

3.2. Поліноми над полями......................................................................13

3.3. Фактор-кільця ...................................................................14

4. КОРЕНІ ПОЛІНОМІВ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ..........................................16

5. ПОЛЯ ЧАСТОК.............................................................................................17

6. ПІДПОЛЯ. ПРОСТІ ПОЛЯ. ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛІВ......................19

7. РОЗШИРЕННЯ ПОЛІВ................................................................................21

8. АЛГЕБРАЇЧНІ РОЗШИРЕННЯ...................................................................23

9. МІНІМАЛЬНІ ПОЛІНОМИ.........................................................................23

10. ПРОСТІ РОЗШИРЕННЯ ПОЛІВ ТА ЇХ ПОБУДОВА............................25

11. ПОЛЯ РОЗКЛАДУ ПОЛІНОМІВ..............................................................27

12. ТЕОРЕМА ПРО ІСНУВАННЯ ТА ЄДИНІСТЬ СКІНЧЕННИХ ПОЛІВ..........................................................................................................27

13. КРИТЕРІЙ ПІДПОЛЯ, ДІАГРАМИ ВКЛЮЧЕННЯ ПІДПОЛІВ...........29

14. МУЛЬТИПЛІКАТИВНА ГРУПА СКІНЧЕННОГО ПОЛЯ....................30

15. НЕЗВІДНІ ПОЛІНОМИ ТА ЇХ КОРЕНІ...................................................32

16. СПРЯЖЕНІ ЕЛЕМЕНТИ............................................................................34

17. ЗОБРАЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ СКІНЧЕННИХ ПОЛІВ............................35

18. ПОРЯДКИ ПОЛІНОМІВ............................................................................38

19. ПРИМІТИВНІ ПОЛІНОМИ.......................................................................42

20. СЛІДИ ТА НОРМИ.....................................................................................43

21. БАЗИСИ.......................................................................................................46

22. АВТОМОРФІЗМИ СКІНЧЕННИХ ПОЛІВ..............................................48

23. ЗВЕДЕННЯ ОСНОВНИХ ПОЛОЖЕНЬ ТА РЕЗУЛЬТАТІВ.................50

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК..........................................................................53

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ...................................................55

ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ ТА НЕОБХІДНІ ВІДОМОСТІ З ТЕОРІЇ ГРУП ТА КІЛЕЦЬ

Означення відмічатимемо знаком u, початок і кінець доведення – відповідно значками 4та 3, а зауваження – знаком ›.

u Нехай – довільна множина, – множина впорядкованих пар . Відображення будемо називати (бінарною) операцією на .

Таким чином, кожній парі ставиться у відповідність елемент – результат операції: (операцію позначили через ). Те, що належить множині , означає замкненість множини відносно операції .

u Під алгебраїчною структурою будемо розуміти деяку множину з однією або кількома операціями на ній. Саму множину називають при цьому носієм даної алгебраїчної структури.

u Напівгрупою називається алгебраїчна структура з однією операцією , що задовольняє умові асоціативності:

.

u Групою називається алгебраїчна структура з однією операцією , для якої виконуються умови:

1) операція асоціативна;

2) існує елемент такий, що для будь-якого

( ‑ одиничний або нейтральний елемент);

3) для будь-якого існує елемент такий, що

( – обернений до елемент).

u Група називається скінченною (відповідно нескінченною), якщо кількість її елементів скінченна (відповідно нескінченна). Кількість елементів скінченної групи називається її порядком.

u Якщо операція в групі комутативна:

(,

то група називається абелевою.

u Групову операцію можна трактувати як множення, тоді говорять про мультиплікативний запис операції або мультиплікативну групу. Якщо ж операція в групі розуміється як додавання, то групу називають адитивною.

ТЕОРЕМА (Лагранжа) Порядок підгрупи скінченної групи ділить порядок .

u Відображення групи у групу називається гомоморфізмом групи у , якщо воно зберігає операцію групи . Тобто, якщо та ‑ операції відповідно у групах та , то . Якщо, крім того, відображення “на”, то називається епіморфізмом (або гомоморфізмом “на”). Гомоморфізм у називається ендоморфізмом цієї групи. Якщо взаємно-однозначний гомоморфізм групи на групу , то він називається ізоморфізмом, і в такому випадку говорять, що групи та ізоморфні. Ізоморфізм групи на називається автоморфізмом цієї групи.

u Кільцем називається алгебраїчна структура з двома операціями, які умовно назвемо додаванням та множенням. При цьому:

1) відносно операції додавання утворює абелеву групу;

(нейтральний елемент цієї групи позначається , обернений до ‑ через , він називається протилежним до елементом);

2) відносно операції множення утворює напівгрупу;

3) операції додавання та множення пов’язані законами дистрибутивності:

u Якщо в кільці існує нейтральний елемент за множенням, то називається кільцем з одиницею.

u Якщо операція множення в кільці комутативна, то називається комутативним кільцем.