Поняття числового ряду та його суми

39. Основні властивості рядів.

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його частинних сум має скінченну границю:

Значення цієї границі називається сумою ряду. Якщо ж послідовність частинних сум ряду границі не має, то ряд називається розбіжним.

ВЛАСТИВОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ

1. Відкидання скінченної кількості перших членів ряду не впливає на його збіжність; якщо вихідний ряд збіжний, то сума отриманого ряду буде менша суми початкового ряду на суму відкинутих членів.

2. Збіжні ряди можна почленно додавати і віднімати. Ця властивість означає, що із збіжності двох рядів випливає збіжність ряду

Крім того, якщо суми цих рядів позначити через А,В,С відповідно, то має місце рівність С=А±В.

Слід відмітити, що із збіжності ряду

збіжність рядів не випливає.

Наприклад, збіжний ряд 0+0+0+… отриманий в результаті почленного додавання розбіжних рядів 1+1+1+… і -1-1-1….

3. Якщо члени збіжного ряду, не змінюючи їх порядку, об'єднати в групи, то отриманий при цьому ряд також збігається і сума його співпадає із сумою вихідного ряду.

4. Нехай - деякий збіжний числовий ряд, - сума цього ряду. Тоді ряд (С – довільне число, відмінне від нуля) також збіжний і його сума рівна .

5. Нехай ряд з невід‘ємними членами, а ряд отримується із даного ряду довільною перестановкою його членів. Тоді дані ряди збігаються одночасно і мають одну і ту ж суму.

40. Критерій Коші збіжності ряду.

Для того щоб ряд був збіжним, необхідно і достатньо щоб для будь-якого додатного числа знайшовся такий номер N такий, що для будь-якого та для усіх натуральних чисел p виконувалася умова

40. Критерій Коші збіжності ряду.

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.