Понятие производной и дифференциала

Определение 21.1 Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и - произвольная точка из этой окрестности. Тогда если выражение имеет предел при , то этот предел называется производной функции в точке (обозначается ).

Определение 21.2 Пусть функция определена в некоторой левой (правой) полуокрестности точки и - произвольная точка из этой полуокрестности. Тогда если выражение имеет левый (правый) предел при , то этот предел называется левой (правой) производной функции в точке (обозначается ).

Если функция определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует ее производная, то эта производная, очевидно, является функцией, определенной на данном промежутке (обозначается ).

Определение 21.3 Функция , определенная в некоторой окрестности точки , называется дифференцируемой в этой точке, если ее приращение , представимо в виде . Слагаемое называется дифференциалом функции в точке (обозначается или ).

Определение 21.4 Пусть функция определена на промежутке и имеет производную в каждой его точке. Если функция имеет производную в точке , то она называется второй производной функции в точке (обозначается или ). Аналогично определяется производная n-го порядка .

Таблица производных основных элементарных функций