Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Полный дифференциал функции нескольких переменныхПусть на области D задана функция двух переменных z =f(х,у), M0(x0;y0) - внутренняя точка области D, M(x0+Δx;y+Δy) - "соседняя" с M0 точка из D. Рассмотрим полное приращение функции: Если Δz представлено в виде: где A, B - постоянные (не зависящие от Δx, Δy), - расстояние между M и M0, α(Δ x,Δy) - бесконечно малая при Δx 0, Δy 0; тогда функция z =f(х,у) называется дифференцируемой в точке M0, а выражение называется полным дифференциалом функции z =f(х;у) в точке M0. Теорема 1.1. Если z =f(х;у) дифференцируема в точке M0, то
52. Означення подвійного та повторного інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла. Означення подвійного інтеграла одночасно дає і спосіб його обчислення. Однак цей спосіб досить складний, тому розглянемо інший, який зводиться до обчислення так званого повторного інтеграла двох визначених інтегралів. Якщо для , то подвійний інтеграл виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею та циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі , а напрямною є межа області (рис. 4).
Рис. 4
Обчислимо цей об’єм за допомогою методу паралельних перерізів (10) де площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а та рівняння площин, що обмежують задане тіло. Спочатку розглянемо випадок, коли область обмежена прямими , , де , та неперервними кривими , причому (рис. 5). Провівши через точку ( ), перпендикулярну до осі площину, дістанемо у перерізі криволінійну трапецію , яка перетне область по прямій . Точку називатимемо точкою входу в область , а точку точкою виходу з неї. Їх ординати позначимо відповідно . Тоді . Визначена таким чином область називається правильною в напрямі осі . Означення. Область називається правильною в напрямі осі (осі ), якщо довільна пряма, яка проходить через внутрішню точку області паралельно осі (осі ), перетинає межу області не більше, ніж у двох точках. Правильна область в напрямі осі зображена на рис. 5, а правильна область в напрямі осі на рис. 6.
Рис. 5 Рис. 6
Площа трапеції дорівнює визначеному інтегралу
Підставляючи у рівність (10) вираз для , дістанемо
Оскільки об’єм циліндричного тіла дорівнює подвійному інтегралу , то маємо або (11) Праву частину формули (11) називають повторним інтегралом від функції по області . У повторному інтегралі (11) інтегрування виконується спочатку по змінній (при цьому вважається сталою), а потім по змінній . Інтеграл по змінній називають внутрішнім, а по змінній зовнішнім. У результаті обчислення внутрішнього інтеграла одержуємо певну функцію від однієї змінної . Інтегруючи цю функцію в межах від до , тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, дістаємо деяке число значення подвійного інтеграла. Якщо область обмежена двома неперервними кривими і двома прямими , причому для всіх , то справедлива формула (12) У формулі (12) внутрішнім є інтеграл по змінній . Обчислюючи його в межах від до (при цьому вважається сталою), дістанемо деяку функцію від однієї змінної . Інтегруючи потім цю функцію в межах від до , одержимо значення подвійного інтеграла. Визначена таким чином область є правильна в напрямі осі . Пропонуємо самостійно довести формулу (12), зробивши переріз циліндричного тіла перпендикулярною до осі площиною. Праві частини формул (11) і (12) також називають двократними інтегралами від функції по області . Для зведення подвійного інтеграла до повторного потрібно побудувати область інтегрування , а потім визначити порядок інтегрування. 53. Заміна змінних у подвійному інтегралі.
|