Прямое преобразование Лапласа

Пусть имеется некоторая функция независимой переменной и комплексное число .

Преобразованной по Лапласу функцией называется функция независимой переменной . Она определяется соотношением:

, (2.1)

где - оригинал, - изображение (изображения обозначаются заглавными буквами).

Внимание. Для момента коммутации интеграл (2.1) теряет смысл.

Формулу (2.1) можно записать и так (нельзя путать знак соответствия «» со знаком равенства «=»!). Чтобы могла быть преобразована по Лапласу, она должна быть аналитической, голоморфной или регулярной в точке . Это означает, что должна быть дифференцируемой в окрестности точки и могла разлагаться в сходящийся степенной ряд. В этом случае интеграл (2.1) существует и имеет конечное значение.

В физических задачах, и в частности в электротехнических задачах, используются аналитические функции.

Несколько примеров

1). Пусть , , тогда

.

2). Пусть , тогда

.

3). Найдем изображение производной . Пусть ,

.

Итак, если , то . Таким образом, если , то операция дифференцирования оригинала соответствует умножению изображения на

4). Найдем теперь изображение интеграла .

Обозначим . Тогда

. (2.2)

Если то но . Согласно (2.2) Отсюда т.е. Таким образом, операция интегрирования сводится к делению изображения на .

Связь между напряжением и током на элементах цепи.

Элемент цепи	Для оригиналов	Для изображений	Примечание
Резистор
Катушка индуктивности			- оригинал тока при
Конденсатор			- оригинал напряжения при