Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины

Чтобы однозначно задать н.с.в., необходимо указать ее функцию распределения.

Определение. Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная функция с непрерывной производной.

Вероятность того, что н.с.в. примет значение из некоторого интервала, определяется формулой: .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет некоторое конкретное значение равна нулю: .

Поскольку вероятность того, что н.с.в. примет конкретное значение, справедливо следующее равенство:

.

Пример 1. Н.с.в. X задана функцией распределения . Найти вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0;1).

.

Определение. Производная от функции распределения непрерывной случайной величины X называется плотностью распределения вероятностей X: .

Связь между функцией распределения и плотностью распределения:

Свойства плотности распределения:

1. ;

2. (условие нормированности);

3. если все возможные значения н.с.в. лежат внутри интервала (a;b), то ;

4. вероятность того, что н.с.в. примет значение из некоторого интервала, равна .

Пример 2. Н.с.в. X задана плотностью распределения на интервале . Найти константу C и вероятность того, что величина X примет значение, заключенное в интервале (0;0.5) и (0;2).

Исходя из условия нормированности н.с.в. .

.