Вероятностные модели с усреднением вероятности

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, образующих полную группу (P(H₁)+P(H₂)+…+P(H_n)=1), которые по отношению к А называются гипотезами. Пусть известны вероятности гипотез P(H₁), P(H₂), …, P(H_n), а также условные вероятности появления события A: P(A|H₁), P(A|H₂), …, P(A|H_n). Тогда вероятность наступления события A может быть вычислена по формуле полной вероятности.

Теорема: вероятность события А, появление которого возможно лишь при появлении одного из несовместных событий H_i, образующих полную группу (i=1,2,..,n), равно сумме попарных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность появления события A:

.

Пример 1. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынок в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех?

Событие A={товар будет иметь успех} произойдет при появлении одной из гипотез H₁={конкурент выпустит аналог} и H₂={конкурент не выпустит аналог}. Вероятности гипотез P(H₁)=0.35, P(H₂)=1‑0.35=0.65. Условные вероятности события A: P(A|H₁)=0.42, P(A|H₂)=0.67.

Формулы Байеса.

Пусть событие A может наступить при условии появления одной из гипотез H₁, H₂,.., Hn, образующих полную группу. Если событие произошло, то можно оценить условную вероятность гипотез.

Вероятности P(H_i) называют априорными, то есть известными до проведения опыта, а вероятности P(H_i|A) – апостериорными, то есть известными после проведения опыта.

Пример 2. Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по-разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства. Результаты исследований показали, что 70% женщин позитивно реагируют на эти ситуации, в то время как 40% мужчин реагируют на них негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что её заполнял мужчина?

Событие A={анкета содержит негативную реакцию} может произойти при появлении одной из гипотез H₁={анкету заполнил мужчина} или H₂={анкету заполнила женщина}. Вероятности гипотез: , . Условные вероятности события A: , . Тогда вероятность того, что случайно выбранная анкета, содержащая негативную реакцию, заполнена мужчиной, будет равна: