Общие понятия и определения

Уравнение вида

,

где - независимая переменная, - искомая функция, а функция определена и непрерывна в некоторой области и зависит от , называется обыкновенным дифференциальным уравнением - го порядка.

Д.у. -го порядка, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

,

где функция непрерывна в некоторой области изменения своих аргументов.

Ограничимся рассмотрением д.у. второго порядка, т.е. уравнениями вида

(2.1)

и

(2.2)

Решением уравнения на интервале называется функция , удовлетворяющая условиям:

1) дважды непрерывно дифференцируема на ;

2) при любом ;

3) обращает (2.2) в тождество:

при любом .

Задачей Коши для уравнения (2.2) называется задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям

(2.3)

где точка принадлежит области в которой задана .

Теорема Коши. Пусть в каждой точке области функция и ее частные производные по и непрерывны, тогда для любой точки задача Коши для уравнения (2.2) имеет единственное решение

Функция (2.4),

где - произвольные постоянные, называется общим решением уравнения (2.2) в области , если

а) функция имеет непрерывные частные производные по до второго порядка включительно;

б) для любой точки система единственным образом разрешима относительно постоянных ;

в) функция является решением д.у. (2.2) при любых допустимых значениях произвольных постоянных .

Если общее решение (2.4) в области задано неявно соотношением

(2.5),

то (2.5) называется общим интегралом уравнения (2.2) в области