Линейные дифференциальные уравнения

Д.у. первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

(1.6)

Если , то уравнение называется линейным однородным.

Решить линейное уравнение (1.6) можно методом Бернулли. Согласно этому методу решение уравнения (1.6) ищется в виде , где – некоторые неизвестные функции. Тогда . Подставляя эти выражения в уравнение (1.6) и группируя слагаемые, содержащие (или ), получим

,

. (1.7)

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например, ) может быть выбрана произвольно (), поскольку лишь произведение должно удовлетворять уравнению (1.6), функция выбирается так, чтобы она обращала в нуль коэффициент при в левой части уравнения (1.7), т.е.

(1.8)

Это уравнение с разделяющимися переменными относительно функции . Проинтегрировав его

,

получим .

За принимаем любое отличное от нуля частное решение уравнения (1.8): .

Поставляя найденную функцию в левую часть (1.7), получим уравнение с разделяющимися переменными относительно :

.

Решив его, найдем

Перемножая функции и , будем иметь

.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение: Согласно методу Бернулли , Подставим эти выражения в исходное уравнение

.

Сгруппируем члены, содержащие :

. (1.9)

Функцию найдем из уравнения

или ,

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

, или .

Подставим найденное в уравнение (1.9):

или .

Откуда

Перемножая и , получим общее решение

.

Ответ: