Задача 1.5 (4)

Даны уравнения движения точки:

; (х, у – м; t – с). (з)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t = 1 с.

1. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Решение

1. Для того чтобы получить уравнение траектории, необходимо из уравнений движения (з) исключить время. Запишем эти уравнения в виде

, .

Возведем оба уравнения в квадрат, вычтем второе из первого и получим уравнение траектории:

x² – y² = 4². (и)

Это уравнение равнобочной гиперболы, полуось которой b = 4 м.

2. Определим проекции скорости

В заданный момент времени t = 1с, V_1x = 4,68 м/с, V_1у = 6,16 м/с
модуль скорости м/с.

Определим проекции ускорения

м/с², м/с².

В момент времени t = 1с, а _1x = 6,16 м/с², а _1у = 4,68 м/с² модуль ускорения м/с².

3. Построим траекторию точки по уравнению (и). Действительной осью гиперболы является ось х (рис. 1.6). На траектории найдем точку М₁, соответствующую моменту времени t = 1 с. Координаты этой точки: x₁ = 2(e + e^-1) = 6,16 м; y₁ = 2(e – e^-1) = 4,68 м; M₁ (6,16; 4,68).

Рис. 1.6

Вектор скорости построим следующим образом: через точку М₁ проведем оси и , параллельные соответствующим осям x и y; вдоль этих осей от точки М₁ отложим отрезки, равные проекциям V_1x и V_1y (с учетом их знаков). Диагональ прямоугольника, построенного на этих отрезках, есть вектор` V<sub>1</sub>. Вектор ускорения` a ₁ строим подобным образом: от точки М₁ вдоль оси отложим отрезок, равный проекции a _1x, а вдоль оси отложим отрезок a _1y. Затем на этих отрезках строим прямоугольник, диагональ которого есть вектор` a <sub>1</sub>. Вектор скорости` V₁ должен быть направлен по касательной к траектории в точке M₁, а вектор ускорения` a ₁ должен быть направлен от точки M₁ внутрь кривой. Задача 1.6 (5)

Рис. 1.7

Даны уравнения движения точки М шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма (рис. 1.7): (х, у – м; t – с). (к) Определить уравнение траектории точки. Определить скорость и ускорение точки в момент, когда она пересечет прямую y = 20 см.

Решение

1. Чтобы определить уравнение траектории, следует исключить время из уравнений движения (к). Учитывая, что

,

получим .

Траектория представляет собой эллипс с полуосями 20 см и 40 см.

2. Определим время Т, когда точка пересечет прямую у = 20 см, первое уравнение системы (к) в этот момент примет вид:
20 = 40 sin2p t, отсюда следует с.

Найдем величины скорости и ускорения по значениям их проекций в момент времени с:

см/с; см/с.

Модуль скорости см/с.

Проекции ускорения

см/с²;

см/с².

Модуль ускорения

см/с².