Задача 1.2 (1)

Даны уравнения движения точки:

; (х, у – м; t – с). (б)

1. Определить уравнение траектории и построить ее.

2. Определить начальное положение точки на траектории.

3. Указать моменты времени, когда точка пересекает оси координат.

4. Найти закон движения точки по траектории s = s(t), принимая за начало отсчета расстояний начальное положение точки.

1. Построить график движения точки.

Решение

1. Для получения уравнения траектории вида F(x, y) = 0 исключим из уравнений движения (б) время t: из первого уравнения системы (б) найдем

,

подставляя это выражение во второе уравнение той же системы, получим уравнение траектории

y = x + 5.

Рис. 1.2

Это – уравнение прямой линии. Для построения прямой представим ее уравнение в отрезках , где а – отрезок, отсекаемый прямой на оси х, b – отрезок, отсекаемый прямой на оси у. В данном случае а = -5 м, b = 5 м. Откладываем на оси х отрезок а = -5 м, по оси у – отрезок b = 5 м. Через полученные точки проводим прямую (рис. 1.2).

2. Для определения положения точки в начальный момент времени необходимо подставить значение t = 0 в уравнения движения (б)

м;

м.

Точка при t = 0 занимает положение М₀ (-1;4).

3. В момент пересечения точкой оси у координата х равна нулю, а первое уравнение системы (б) примет вид:

.

Отсюда

где n = 0, 1, 2 …

В момент пересечения точкой оси х координата у равна нулю, а второе уравнение системы (б) примет вид:

или .

Но косинус не может быть больше 1. Следовательно, точка не пересекает ось х (см. об этом также п. 4 решения задачи).

4. Для определения закона движения точки по траектории воспользуемся формулой (1.8). За начало отсчета координаты s примем начальное положение точки М₀. Подставляя в уравнения (б) значения t > 0, видим, что с выходом из начального положения М₀ координаты точки х и у увеличиваются. Это направление движения точки примем за положительное направление отсчета координаты s (см. стрелку на рис. 1.2), а в формуле (1.8) оставим знак “плюс”:

.

Учитывая, что

получим

или

. (в)

Из закона (в) следует, что координата s не может быть отрицательной, т.е. точка движется по полупрямой М₀М (рис.1.2) и ось х не пересекает (см. по этому поводу п. 3 решения задачи).

5. График движения точки – это графическое представление зависимости расстояния s от времени t. Для построения такого графика по оси абсцисс откладывают последовательные значения времени t, а по оси ординат – соответствующие им значения расстояния s. Построенные точки соединяют плавной линией. График зависимости (в) можно построить быстрее, если воспользоваться известным графиком косинуса. Для этого вначале построим график функции (штриховая линия на рис. 1.3), затем этот график сместим вдоль оси s на величину м.

Рис. 1.3.