Задача 1.4 (4)

Даны уравнения движения точки:

; y = t (x, y – м; t – с). (е)

1. Определить уравнение траектории точки.

2. Определить скорость и ускорение точки при t = 0 и t = 1 с.

1. Построить траекторию и указать полученные векторы скорости и ускорения на чертеже.

Решение

1. Уравнение траектории получается подстановкой в первое уравнение системы (е) величины t = y, полученной из второго уравнения этой системы:

. (ж)

2. Модуль скорости точки определяется по формуле , где – проекции вектора скорости на координатные оси. Для заданного движения (е) имеем

, м/c.

При t = 0 , м/c.

Модуль скорости V₀ = 1 м/c.

При t = 1 с, м/c, м/c.

Модуль скорости V₁ = 4,82 м/с.

Модуль ускорения точки определяется по формуле , где , – проекции вектора ускорения на координатные оси. Для заданного движения (е) имеем

, .

При t = 0 м/с² , .

Модуль ускорения a ₀ = 7,4 м/с².

При t = 1 с , .

Модуль ускорения a ₁ = 0.

3. Траектория точки (ж) представляет собой косинусоиду.

Рис.1.5

Для построения траектории найдем по уравнению (ж) пять точек, задавшись пятью значениями у: у = 0, 1, 2, 3, 4, М0(3; 0), М1(0; 1), М2(-3; 2), М3(0; 3), М4(3; 4). По этим точкам построена траектория на рис. 1.5. Определим положение точки в моменты времени t = 0 и t = 1 с, учитывая (е). При t = 0 x0 = 3 м, y0 = 0, точка занимает положение М0(3; 0).

При t = 1 с x₁ = 0, y₁ = 1 м, точка занимает положение М₁(0; 1). Для этих положений точки построим векторы скорости и ускорения. От точки M₀ отложим проекции скорости V_0x = 0 и V_0y = 1 м/с (см. п.2); направление вектора ` V<sub>0</sub> показано на рис. 1.5. Вектор скорости ` V₁ построим следующим образом: через точку M₁ проведем оси и , ось параллельна оси x, а ось совпадает с осью y. Вдоль этих осей от точки M₁ отложим отрезки, равные проекциям V_1x и V_1y (с учетом их знаков); затем построим прямоугольник, диагональ которого есть вектор ` V<sub>1</sub>. Модуль вектора ускорения` a ₀ равен модулю проекции a _0x (см. п. 2), ` a <sub>0</sub> направлен от точки M<sub>0</sub> в сторону, противоположную положительному направлению оси x (cкорости ` V₀, ` V<sub>1</sub> должны совпадать с касательными к траектории соответственно в точках M<sub>0</sub> и M<sub>1</sub>. Вектор` a ₀ должен быть направлен от точки M₀ внутрь кривой).