Общая постановка задачи в газовой динамике

При решении задач прикладной газовой динамики обычно должно быть задано:

1) область течения жидкости и свойства жидкости;

2) твердые тела, обтекаемые жидкостью, или канал, внутри которого движется жидкость, и энергетическое воздействие на жидкость;

3) значение параметров жидкости на границе области течения в начальный момент времени t_o (граничные и начальные условия).

Требуется определить пространственно-временные поля всех параметров движущейся жидкости, т.е. скорости, плотности, давления и температуры:

w_x = w_x(x₁, x₂ , x_3, t); w_y = w_y(x₁, x₂, x_3, t); w_z = w_z(x₁, x₂, x_3, t);

ρ = ρ(x₁, x₂ ,x_3, t); p = p(x₁, x₂, x_3, t); T = T(x₁, x₂, x_3, t),

где w_x, w_y, w_z – проекции вектора скорости жидкости W на оси x₁, x₂, x₃ произвольно выбранной системы координат; ρ, p, T – плотность, давление и температура жидкости.

Решение поставленной задачи позволяет определить силовое и тепловое взаимодействие между потоком жидкости и твердыми телами (стенками канала), рассчитать и спроектировать работоспособную конструкцию того или иного устройства.

В общем случае для решения поставленной задачи записывают дифференциальные уравнения движения - уравнения Навье – Стокса (три уравнения в проекциях на координатные оси). К этим уравнениям следует присоединить ещё уравнение неразрывности. Однако для исследования движения сжимаемой жидкости этих уравнений оказывается недостаточно, поскольку при термодинамическом процессе сжатия (увеличении плотности при повышении давления) происходит изменение и температуры жидкости, что приводит к необходимости ввести в рассмотрение некоторые термодинамические соотношения. Первым таким соотношением является уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру. Далее, если изменение состояния протекает не изотермически, то необходимо использовать ещё одно термодинамическое соотношение – уравнение энергии, которое выражает баланс теплоты и механической энергии и представляет собой дифференциальное уравнение для распределения температуры. Наконец, последнее необходимое соотношение дает эмпирическая связь между коэффициентом вязкости μ и температурой Τ. Таким образом, если массовые силы рассматривать как заданные, то мы имеем семь уравнений для определения семи величин: w_x, w_y, w_z, p, ρ, T, μ. В случае изотермического течения вместо семи уравнений остаются только пять - уравнения движения, неразрывности и состояния, для определения пяти неизвестных величин w_x, w_y, w_z, p, ρ.

Для полной физической определенности решений системы уравнений Навье – Стокса должны быть заданы граничные и начальные условия. Причем начальные условия необходимо вводить только для неустановившегося движения.

Математическое описание движения жидкости общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой жидкости, является сложной и в большинстве случаев неразрешимой задачей. Если даже ограничится учетом только текучести, вязкости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения оказываются настолько сложными, что пока не удалось разработать аналитических методов их решения. Применение численных методов интегрирования таких уравнений с использованием современной вычислительной техники также связано со значительными трудностями. Поскольку система уравнений в общем виде не решается, для достижения результата обычно вводят различные упрощения в самом начале, ещё при формулировке задачи.