А. Декартова координатная система

Наиболее просто кинематические характеристики движения определяются в ортонормированном базисе (единичные базисные векторы ортогональны). Обычно с этим базисом связывают декартову систему осей . Три числа , которые определяют положение точки М относительно этой системы координат,- это проекции радиуса-вектора на координатные оси:

(1.5)

Координаты движущейся точки

(1.6)

обычно полагают дважды дифференцируемыми по времени функциями. Сами уравнения (1.6) называют уравнениями движения точки в декартовой координатной системе или уравнениями траектории точки в параметрической форме. Если удается исключить из этих уравнений время t, то комбинации любых двух полученных соотношений задают траекторию движения точки явно.

Для траектории движения, расположенной в одной плоскости (ее всегда можно совместить с плоскостью ), в (1.6) достаточно записать лишь первые два уравнения либо получить .

Продифференцировав (1.5) по времени, вектор скорости можно представить в форме:

(1.7)

где - проекции вектора скорости на соответствующие оси координат.

Модуль вектора скорости определяется по формуле

(1.8)

а направление этого вектора задается косинусами углов с соответствующими координатными осями («направляющие косинусы»):

. (1.9)

Выполнив такую же последовательность операций, можно получить выражения для вектора ускорения, его проекций, модуля и направляющих косинусов углов:

(1.10)

.

ПРИМЕР 1.1. Морское орудие, дульный срез которого расположен на высоте над уровнем моря, производит выстрел под углом к горизонту; скорость вылета снаряда (см. рис.1.3).

Полагая известными уравнения движения снаряда в декартовой координатной системе (начало координат на дульном срезе, - ускорение свободного падения, - время движения, сопротивление воздуха не учитывается):

необходимо рассчитать дальность полета снаряда, его скорость и ускорение в момент удара о воду.

РЕШЕНИЕ. Формулы для вычисления проекций скорости и ускорения на оси декартовой системы получаются дифференцированием по времени уравнений движения снаряда:

В общем случае значения величин проекций могут быть получены только после расчета времени полета снаряда . Заметим, что в рассматриваемом случае на всем протяжении полета ускорение снаряда оказалось постоянным и равным ускорению свободного падения.

Время полета определим из условия .

Решив квадратное уравнение относительно , получим:

.

Второй, отрицательный, корень уравнения отброшен, как не имеющий физического смысла.

Подставим найденное значение в формулы для проекций скорости:

Тогда величина скорости снаряда при ударе о воду будет

,

а дальность полета снаряда равна

.