Плотность и сепарабельность

Определение 1. Множество M называется плотным в множестве , если , то есть любой элемент из множества есть предельная точка множества M. (Определение предельной точки и замыкания даны в п.2.3.4.)

Определение 2. Если множество , то есть совпадает со всем носителем метрического пространства , то множество M называется всюду плотным (абсолютно плотным) в множестве .

Комментарий. Абсолютная плотность означает, что любой элемент из множества есть предел последовательности элементов из множества M, то есть в любой, сколь угодно малой окрестности точки найдутся точки из множества M, то есть все точки есть точки прикосновения множества M, то есть замыкание множества M совпадает со всем пространством.

Определение 3. Множество M называется нигде не плотным в множестве , если шар, не содержащий точек из множества M.

Примеры. Множество рациональных чисел всюду плотно на действительной оси.

Множество целых чисел нигде не плотно на действительной оси.

Любое дискретное множество нигде не плотно в пространстве.

Определение 4. Метрическое пространство сепарабельно, если в нём существует счётное всюду плотное множество счётный скелет.

Комментарий. Сепарабельность означает, что в пространстве существует последовательность , такая, что из неё можно выделить (separate (лат) выделять) подпоследовательность , сходящуюся к , или, что тоже самое, .

Примеры. Эвклидово пространство сепарабельно. Счётный скелет в нём множество точек с рациональными координатами.

Дискретное метрическое пространство, состоящее из счётного числа точек, сепарабельно. По определению,множество называется всюду плотным, если его замыкание совпадает со всем пространством. Здесь счётный скелет совпадает со всем пространством, а других точек нет.

Пространство сепарабельно. Счётный скелет здесь образует множество полиномов с рациональными коэффициентами по теореме Вейерштрасса любую функцию из можно сколь угодно точно представить в виде суммы таких полиномов.

Пространство сепарабельно. Рассмотрим множество всех последовательностей с рациональными членами, у которых только конечное, для каждого своё, число членов не равно нулю, а остальные члены нулевые. Это счётное множество, как объединение счётного числа счётных множеств. Покажем, что множество образует счётный скелет в . Пусть последовательность . Так как , то есть ряд сходится, то . Так как множество рациональных чисел всюду плотно на числовой оси, то. Нормировочный множитель выбран для удобства и в си лу произвольности . Рассмотрим последовательность , члены которой при равны нулю. Тогда расстояние между и , то есть , то есть замыкание совпадает с , то есть множество образует счётный скелет в .

Пространство () не сепарабельно. Пусть . Тогда двоичное представление числа, а множество всех таких чисел имеет мощность континуума. В метрике . Пусть пространство сепарабельно, то есть в нём существует счётное всюду плотное множество счётный скелет. Опишем вокруг каждого элемента из шар . Всего элементов счётное множество, то есть и шаров счётное множество, а множество элементов в пространстве имеет мощность континуума, то есть по крайней мере в одном из шаров должно находиться по крайней мере два элемента из пространства (принцип Вейерштрасса). Пусть центр такого шара. Тогда .

Теорема 1. Во всяком сепарабельном предгильбертовом пространстве существует ортонормированный базис из конечного или счётного числа элементов.

Пусть счётный скелет пространства . Выбросив из него элементы, которые можно представить в виде линейной комбинации оставшихся элементов, получим полную линейно независимую систему функций, ортонормируя которую и получим базис.