Нормированные пространства. Заметим, что эвклидова норма обладает очевидными свойствами: ; для любого и любого числа ; для любых (неравенство треугольника)

Заметим, что эвклидова норма обладает очевидными свойствами:

1. ;
2. для любого и любого числа ;
3. для любых (неравенство треугольника).

Неотрицательность и положительная однородность функционала очевидны. Покажем неравенство треугольника:

Приняв эти свойства за аксиомы, получим следующее

Определение 1. Говорят, что на линейной структуре задана норма его элементов, если указан функционал, ставящий в соответствие этим элементам действительное число, удовлетворяющее аксиомам 1-3. Пара называется нормированным пространством.

Определение 2. Полное бесконечномерное нормированное пространство называется банаховым.

Пример. Доказать, что , где нормированное пространство,

выполняется неравенство .

.

Комментарий. 1. Ясно, что любое эвклидово пространство нормировано. Обратное, вообще говоря, неверно эвклидова норма просто одна из многих. 2. Обратим внимание, что и гильбертовы пространства какполные бесконечномерные эвклидовы пространства и банаховы пространствакак полные бесконечномерные нормированные пространства построены на линейных структурах. Сейчас мы начнём строить пространства на произвольных носителях.