Метрические пространства

Комментарий. Теорию метрических пространств построил ученик Ж. Адамара, автора как термина функционал, так и термина функциональный анализ, М. Фреше. Он обобщил понятие расстояния, используемого в аналитической геометрии при изучении свойств геометрических объектов и в математическом анализе при определении предела числовой последовательности или функции.

Определение 1. Пусть – произвольное непустое множество. Говорят, что на задана метрика (расстояние) , если каждой паре элементов поставлено в соответствие единственное неотрицательное число(неотрицательный функционал) , удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) (аксиома тождества);

2) (аксиома треугольника).

Пара , то есть множество с заданной на нем метрикой , называется метрическим пространством.

Комментарий. 1.Из неравенства треугольника при сразу получаем , а при сразу получаем Но с другой стороны, неравенство треугольника можно записать так: . Тогда при сразу получаем , то есть . Тогда исходная система аксиом заменяется на часто более удобную систему из трёх аксиом:

Определение 2. Если – метрическое пространство и , то пара также будет являться метрическим пространством и называется подпространством пространства , если , то есть расстояние между точками – равно расстоянию между этими точками в пространстве .

Комментарий. Стандартные метрические пространства – это метрические пространства со стандартными носителями и со стандартными метриками. В этих случаях пространства носят стандартные названия.