Геометрия эвклидовых пространств

Теорема 1. (Неравенство Буняковского Коши или неравенство Шварца): .

Теорема 2. (Неравенство Минковского или неравенство треугольника): .

. , но . Тогда .

Определение 2. Пусть . Углом между элементами и называют число , для которого выполняется равенство .

Определение 3. Два элемента произвольного евклидова пространства называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов равно нулю.

Ясно, что и ортогональны если и только если .

Теорема 3. (Равенство параллелограмма):

.

.

Следствие: .

Комментарий. В параллелограмме, построенном на векторах , где обычное геометрическое пространство, диагонали задаются векторами и , а как учат в восьмом классе, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Равенство параллелограмма является бесконечномерным обобщением этого факта. При неэвклидовых нормах равенство параллелограмма не выполняется.

Пример. В линейном пространстве последовательностей комплексных чисел , скалярное произведение . Аксиомы скалярного произведения очевидны. Ряды сходятся по условию, а из неравенства  Буняковского–Коши