Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Алгебраические структурыОпределение 1. Пусть М и S два множества произвольной природы, a x,y,z -три элемента, быть может, разных множеств. Правило (закон), по которому упорядоченной паре элементов х и у ставится в соответствие элемент z (один и только один), называется бинарной операцией или законом композиции, результат этой операции (элемент z) называется композицией, а элементы х и у называются операнды. Определение 2. Если (одному из множеств), то закон композиции называется внутренним а множество М называется замкнутым относительно этого закона (этой бинарной операции). Определение 3. Если операнды принадлежат разным множествам, а композиции одному из них (например ), то такая бинарная операция называется внешним законом. Комментарий. На множестве М и S может быть определено несколько законов, но все многообразие ситуаций реализуется в простейшем случае, когда их не более двух. Один из них (произвольный) называется аддитивным и обозначается , другой мультипликативный и обозначается . Множество натуральных чисел с обычными операциями сложения, умножения, возведения в степень - примеры внутренних законов, множество действительных чисел и множество векторов в конечномерном пространстве с операцией произведения числа на вектор внешний закон. В этом пункте нас будут интересовать только внутренние законы композиции. Определение 4. А лгебраической структурой называется множество (носитель структуры) М с заданным на нём одним или двумя внутренними законами композиции, которые обозначаются и и часто называются “сложение” и “умножение”. Комментарий. Эти законы композиции можно наделить или нет определенными свойствами, которые, в свою очередь, задают ту или иную структуру множества М, которое называется носителем а лгебраической структуры. Имея дело с а лгебраической структурой (АС), следует соблюдать три правила. 1. Природа и характер носителя АС не обсуждается. 2. Природа и характер операций, порождающих данную АС на 3. Все рассуждения поводятся только на абстрактном уровне. На
Свойства внутренних законов композиции: 1. коммутативность. 2. ассоциативность. 3. дистрибутивность 4. дистрибутивность справа операции относительно операции . Аналогично определяется дистрибутивность относительно операции . Примеры. 1. Множество действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Эти операции коммутативны и ассоциативны. Кромке того и , то есть умножение дистрибутивно справа и слева относительно сложения. Но и , то есть сложение не дистрибутивно ни справа, ни слева относительно операции умножения. 2. операция возведения в степень не ассоциативна, не коммутативна (, , но дистрибутивна справа относительно операции умножения () и вообще не имеет смысла дистрибутивность слева относительно умножения. 3. Операции и для множеств взаимно дистрибутивны относительно друг друга, ассоциативны и коммутативны.
Комментарий. Законы композиции наделяют элементы множества М некоторыми свойствами, верными или нет только при этих законах. Другими словами, на множестве М при действии данного закона с его свойствами появляются выделенные элементы, т.е. оно становится структуированным (откуда и понятие АС).
Определение 5. Элемент называется нейтральным относительно данного закона , если . Примеры. Ноль на множествах при сложении, единица при умножении, при объединении и при пересечении множеств. Ясно, что его может и не быть, например, на множестве , или нейтральный элемент фактически может быть не определенным элементом множества, а образовывать целый класс элементов этого множества. Рассмотрим, например, множество остатков от деления натурального числа на 3 или, как говорят "вычетов по модулю три". Это множество состоит из классов чисел Зададим на этом множестве операцию + с помощью таблицы Кэли (способ задания операций для конечных множеств или классов множеств, заключающийся в непосредственном перечислении результатов операции).
Видно, что , , . Элемент К0- нейтральный, но фактически он представляет собой бесконечное множество натуральных чисел, нацело делящихся на три. Теорема 1. Если нейтральный элемент есть, то он единственен. аа. Пусть два нейтральных элемента относительно операции . Тогда . Положив в первом равенстве , получим . Положив во втором равенстве , получим , то есть .■ Определение 6. Пусть множество М содержит нейтральный элемент относительно операции . Элемент называется симметричным (обратным, противоположным) элементу , если . Примеры. На множестве (Z,+) нейтральный элемент , а симметричным является элемент , на множестве нейтральный элемент , но не все имеет симметричный элемент (, то есть элемент не имеет симметричного), на множестве нейтральный элемент , а симметричного нет. Естественно, нейтральный элемент группоида симметричен, самому себе, т.к. по определению как нейтрального так и симметричного элемента если , тогда , , то есть . Определяя на множестве произвольной природы М один или два закона композиции, наделяя эти законы какими-то из перечисленных свойств и задавая структуру М относительно этих свойств, мы получим различные АС, перечисленные в таблице, задающей аксиомы АС.
Значёк Х означает, что данный закон обладает этими свойствами, а множество М имеет относительно этого закона соответствующие элементы. При этом полагается, что 1. Мультипликативный закон, если он определен, 2. Симметричный элемент мультипликативного закона
|