Асимптоты плоских кривых

Опр. Линия, к которой неограниченно приближается кривая, называется асимптотой этой кривой.

Специально не оговаривается как ведет себя кривая относительно асимптоты (пересекает асимптоту или нет).

кривая

асимптота кривой

Рис 4.4. Кривая и ее асимптота.

Примером такого рода асимптоты будет экспонента 0,5е^х для гиперболической функции y=Shx.

Будем рассматривать только прямолинейные односторонние асимптоты, которые имеют вид y=kx+b, y=b, x=a. Начнем с простейших – вертикальных. Если в некоторой точке х=а функция y=f(x) не определена, то имеет смысл вычислить односторонние пределы этой функции в этой точке. Если хотя бы один из односторонних пределов есть бесконечный предел, то прямая х=а – вертикальная асимптота.

Пусть мы строим график функции y=f(x). И возник вопрос о наличии асимптоты вида y=kx+b. Поступаем так. По определению разность f(x)- (kx+b)= - бмв при х или при х - . Разделим обе части равенства на х и подсчитаем пределы обеих частей при тех же условиях. Получаем

-k - = Откуда получаем k= т.к. остальные пределы дают нули. Если же просто подсчитать при тех же условиях пределы -kх -b= , то получим b= -kх.

Частный случай. При k=0 получают горизонтальную асимптоту y=b.