Производная и дифференциал высшего порядка

Т.к. y’ сама является функцией, то естественно поставить вопрос о наличии ее производной, т.е. (y’)’. Все это можно обобщить определением:

производная от производной порядка n-1 называется производной порядка n.

Соответственно записывают символ такой производной y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’. Если использовать для обозначения символ дифференциала, то получим иные обозначения производной порядка n. y⁽ⁿ⁾= = = и т.д. В самом деле по определению имеем y’’=(y’)’=(f’(x)dx)’=(f’’(x)dx)dx=f’’(x)d²x. Откуда и получаем в виде обобщения записанное ранее.

Из этого определения вытекают и все свойства такой производной.

Рассмотрим несколько частных случаев производной порядка n.

Пусть y=uv. Тогда y’=u’v+v’u. Затем y’’=u’’v+2u’v’+v’’u. Обобщаем и получаем

(uv)⁽ⁿ⁾ =u⁽ⁿ⁾ v+n u^(n-1) v’+ +…+ uv⁽ⁿ⁾. коэффициенты такой формулы можно сразу выписать, если использовать треугольник Паскаля.

Пусть функция задана параметрически . Тогда известно, что y’= . Если теперь попытаться найти y’’, то сделать это будет проблематично, т.к. получено выражение, зависящее от t,но не от х. Обойдем это затруднение так – имеем

y’’=(y’)’= y’= ()= = = = .

Можно поступить иначе

y’’=(y’)’= y’= ()= ()= = .