Исследование на экстремум

Опр. Если в окрестности точки x_o выполняется условие f(x)<f(x_o), то эту точку называют точкой локального экстремума типа максимум.

Если в окрестности точки x_o выполняется условие f(x)>f(x_o), то эту точку называют точкой локального экстремума типа минимум.

В этих определениях слово «локальный» означает достаточно малую окрестность рассматриваемой точки.

Среди всех локальных экстремумов можно выбрать самое малое и самое большое значения, которые называют глобальными экстремумами.

Предполагается также, что функция и ее производная непрерывны в указанной точке.

Теорема (необходимое условие существования). Если f(x) дифференцируема в точке x_o и эта точка является точкой локального экстремума, то f’(x_o).

Док. Пусть, для определенности, x_o – точка минимума. Тогда при x<x_o имеем <0, а при x>x_o имеем >0. Отсюда следует, что 0, а 0. Но, т.к. по условию, f(x) дифференцируема(т.е. имеет единственную производную), то это означает, что производная непрерывна в этой точке и потому равна нулю.

Теорема (1-е достаточное условие).Если f(x) непрерывна в x_o, дифференцируема в окрестности этой точки, кроме, быть может, самой точки и рпи переходе через эту точку производная меняет знак, то точка x_o – точка локального экстремума.

Комментарий. Переход через точку означает такое изменение аргумента, при котором в начале движения аргумент принимал значение с одной стороны точки x_o, а закончился процесс, когда аргумент принял значение с другой стороны точки x_o.

Док. Пусть для определенности при переходе через точку знак производной меняется с + на -. Применим формулу Лагранжа для функции в точках х и x_o. Имеем =f’(c), в которой точка с где-то между х и x_o. Пусть теперь x<x_o, тогда f’(c)>0 и потому f(x)-f(x_o)<0. Если же x>x_o имеем f’(c)<0 и потому f(x)-f(x_o)<0. Но из полученных соотношений между значениями функции в точках х и x_o следует, что выполнено определение локального экстремума в точке x_o.

Теорема(2-е достаточное условие). Пусть f(x) непрерывна в x_o и дифференцируема в этой точке до порядка n включительно. Пусть f⁽ⁱ⁾(x) 0 для i=1,2,…,n-1, но f⁽ⁿ⁾(x)= 0. Тогда, если n четное, то в точке x_o есть экстремум; если n нечетное, то в точке x_o нет экстремума.

Док. По формуле Тейлора имеем f(x)=f(x_o)+ (x-x_o)ⁿ . Или иначе f(x)-f(x_o)= (x-x_o)ⁿ . Из этой записи видно что постоянство знака разности f(x)-f(x_o) определяется знаком произведения (x-x_o)ⁿ. При n четном второй множитель всегда положителен (постоянен по знаку). И тогда знак правой и левой частей равенства f(x)-f(x_o)= (x-x_o)ⁿ полностью определяется знаком f⁽ⁿ⁾(x). Т.к. по условию эта производная не равна нулю в окрестности точки x_o, то она там имеет вплоне определенный (постоянный знак). А это обеспечивает выполнение определения локального экстремума в точке x_o.

Если же n нечетно, то на знак разности f(x)-f(x_o) влияет еще и знак величины (x-x_o)ⁿ, который может быть разным для разного расположения х относительно точки x_o. Значит определения экстремума не выполняется и его нет.

Следствие. Если знак f⁽ⁿ⁾(x_о) положителен, то x_о – точка локального максимума; если знак f⁽ⁿ⁾(x_о) отрицателен, то x_о – точка локального минимума.

Комментарий. На практике ограничиваются второй производной.