Замечательные пределы

Теорема. Первый замечательный предел имеет вид .

Доказательство. Сначала отметим, что знак выражения не меняется

при изменении знака переменной х, ввиду нечетности функций Sinx и х и четности функции, равной их отношению. Отсюда следует, что достаточно рассмотреть только ситуацию, когда х 0, оставаясь положительным.

Теперь рассмотрим единичную

С окружность и центральный

угол

Д х= ДОА. ВС – касательная к

окружности, равная tgx; ДВ -

хорда и ДА – высота треуголь-

О х А В ника ОДВ, равная Sinx.

Теперь сравним площади

фигур: ОДВ, сектора ОДВ и

ВСД. Т.к. радиус окружности

равен 1, то S _ОДВ=0,5Sinx;

S_{сектора}=0,5х и S _ОВС=0,5tgx. Получаем естественное неравенство 0,5Sinx < 0,5х < 0,5tgx или Sinx < х < tgx. Т.к. мы взяли х>0, то имеем право разделить это неравенство на Sinx и сохранить смысл неравенства. Получаем 1 < < . Теперь запишем неравенство для обратных величин, записанных в данном неравенстве 1 > > . Если теперь использовать признак 2 существования предела (теорему), то можно сделать вывод, что переменная имеет своим пределом 1, т.к. при своем изменении она оказывается ограниченной с двух сторон единицей. Что и требовалось доказать.

Комментарий. Так как под переменной х обычно понимают «что угодно», то из первого замечательного предела следует его применение в более общих ситуациях. Главное, чтобы та величина, которая стермится к нулю, была записана под знаком синуса и в знаменателе отношения. Так, например,

и и

. Присмотритесь к изменению аргумента х и изменению величины, записанной под знаком синуса и в знаменателе.

Второй замечательный предел. Теорема. .

Комментарий. е – число Непера, упоминавшееся в обзоре основных элементарных функций.

Этот предел может иметь вид .

Доказательство. Рассмотрим график функции y=lnx. Нам известно, что отличительной его особенностью является наклон касательной к графику в точке (1;0), равный 45^о. Рассмотрим Рис 3.8.

На Рис3.8. tga – угловой

коэф-

фициент касательной к лога-

рифмике. tga =1 по выше

y=lnx сделанному замечанию.

С другой стороны, tga – это

a предельное значение для

ф tgф – углового значения

секу щей,

1 1+h проведенной через точки

(1;0) и (1+h; ln(1+h)). Поэтому

Рис 3.8. К доказательству 2-го замечательного предела.

tgф= . Откуда следует что величина 1 при h 0. Или 1, или 1, или е. И все это при h 0. Замените буку h на букву х и получите требуемое.

Комментарий. Все, отмеченное в комментарии для 1-го замечательного предела, остается в силе и в данном случае. Например, и и т.д.