Невырожденные матрицы

· Невырожденная матрица матрица у которой определитель отличен от нуля

· Вырожденная матрица матрица у которой определитель равен нулю

· Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров отличных от нуля, Ранг канонической матрицы равен числу единиц стоящих на ее диагонали, Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк матрицы А.

· При транспонировании матрицы ее ранг не меняется

· Если вычеркнуть из матрицы нулевой столбец, то ранг матрицы не изменится

· Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях

· Эквивалентными матрицами называются матрицы, когда одна матрица получена из другой с помощью элементарных преобразований матрицы ни являются равными, но их ранги равны

· Теорема: Для того чтобы матрица А имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля

· Док-во:

· По определителю обратной матрицы А в минус первой степени = В; АВ=ВА=Е следует

· А и А в минус первой степени перестановочные квадратные матрицы оного порядка по теореме о произведении обратных матриц имеем, что detA*detA в минус первой степени=det(A*A в минус первой степени)=detE=1=detA*detA в минус первой степени из этого следует, что ни один определитель не может быть нулевым, если матрица имеет обратную матрицу

Системы линейных уравнений

· Совокупность n чисел C1,C2,Cn, называется решением системы уравнений, если каждое уравнение системы обращается в верное тождество (левая часть равна правой после подстановки n вместо Х)

· Система уравнений называется совместной, если она имеет одно или множество решений, система является не совместной, если она ни имеет решения

· Если система имеет множество решений, то каждое решение называется частным, а множество всех частных это общее решение системы

· Эквивалентными системами называются такие системы, у которых решение одной системы является решением для другой и наоборот, все несовместные системы являются эквивалентными

· Теорема о базисном миноре:

Всякий столбец матрицы есть линейная комбинация ее базисных столбцов сами базисные столбцы линейно независимы (верно для строк).

· Док-во:

Обозначим аik элементы матрицы (k 1,…m строк, j=1,…n столбцов) пусть С1С2Сn столбцы матрицы пусть базисный минор находится в столбце (Cj1, Cj2,…Cjr) и в строках с номерами k1,…kr. Доказать что для любого столбца существует числа L1,…,Lr такие что столбец является линейной комбинацией столбцов Cj=L1Cj1+,…+LrCjr (1)

Для элементов матрицы А с учетом свойств матрицы уравнение (1) имеет вид (1<k<m) aij=L1aij1+,…,Lrakir где Lj не зависят от K.

· Теорема Кронекера-Копелы: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда когда ранг расширенной матрицы равен рангу системы (необходимо достаточно)

· Док-во:

Пусть система совместна ранг расширенной матрицы равен рангу системы.

1)показать что дополнительный вектор столбец является линейной комбинацией (т.к. из совместной системы следует что Х1=С1б Хn=Cn при замене иксов на С получим что система уравнений является линейной комбинацией доп. столбца bjn т.к). системы это значит, что он не влияет на ранг по свойству ранга и это значит, что ранг расширенной матрицы равен рангу системы

2)ранги равны покажем что есть решение Пусть ранг расширенной матрицы равен рангу системы Выделим базис столбцы матрицы расширенной они же будут базис столбцами матрицы системы. Предположим что базисными являются первые r столбцов Согласно теореме о базисном миноре (всякий столбец матрицы есть линейная комбинация ее базисных столбцов) последний столбец может быть линейной комбинацией базисных столбцов, т.е. существуют числа С1,С1,Сr что С1аj1+C2aj2+,…,Crair=bir (2) если подставить в уравнение системы aj1X1,…,ajnXn=bjn (1) положим что Х1=С1, Хr=Cr, Xr+1=0получим что все уравнения системы (1) превратятся в (2) Т.е. получим Х=(С1С2Сr0000)”вектор столбец”- решение системы значит система разрешима.

Ранг не может быть больше числа столбцов: если ранг расширенной матрицы равен числу столбцов то у системы одно решение, если ранг меньше числа столбцов то у системы множество решений.

· Метод Гауса (метод последовательного исключения неизвестных) если число базисных элементов соответствует числу строк то у системы единственное решение если число строк больше числа базисных элементов то у системы множество решений

· Однородная система – система уравнений когда свободный член равен нулю и система неоднородна в противном случае aj1X1,…+…, ajnXn=0 или в матричном виде АХ=0. Любая однородная система имеет одно решение и совместна всегда

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

Теорема о существовании нетривиального решения: Для того чтобы существовало хотя бы одно ни тривиальное решение необходимо и достаточно чтобы ранг был меньше числа неизвестных

· Док-во:

Система всегда имеет одно решение когда ранг меньше числа неизвестных система имеет множество решений одно из них тривиальное все остальные не тривиальные также ранг не может быть больше числа неизвестных.

Теорема о линейной комбинации решений однородной системы уравнений: если векторы С1, С2,…, Сn являются решением системы АХ=0 то любая их линейная комбинация С=L1C1+L2C2+…+LnCn является решением этой системы т.к. С1…Сn решение системы то АХ=0 следует что АС1=0… АСn=0 учитывая распределительный и сочетательный закон матричного умножения а также независимость произведения на число от порядка множителя имеем АС=А(L1C1+…LnCn)=L(AC1)+…L(Acn) из этого следует что С решение системы АХ=0.

Фундаментальной системой решений называется линейно зависимая система решений ч/з которую линейно выражается решение данной системы.

· Теорема: Крамера система из m уравнений и n неизвестных в случае, когда определитель этой системы отличен от нуля имеет решение и только одно это решение находится по формулам Х=deti/det для всех i

где det-определитель системы

deti-определитель матрицы полученной заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

· Док-во:

Если определитель отличен от нуля, это достаточно для того, чтобы матрица имела обратную А в минус первой степени

АХ=В; Х=В/А; Х=В*А-1степени, подставим в первое ур-е получим А*В*Ав –1степени=В А*А в минус первой

степени единичная матрица, следовательно, ЕВ=В; В=В

Допустим, что матрица А имеет множество решений (Х1, Х2, Хn) то АХ2=Ви АХ1=В следовательно АХ2=АХ1

Умножим обе части на обратную матрицу А получим ЕХ2=ЕХ1 следовательно, Х1=Х2 т.е. запись (Х1Х2Хn) не имеет смысла и все иксы равны. Формула Крамера ход: записать Х=А в минус первой *В где В вектор столбец свободных членов А в минус первой обратная к А запишем обратная матрица равна еденици деленой на определитель матрицы А умноженное на союзную матрицу,…

Базисным минором называется минор отличный от нуля r-го порядка где r ранг матрицы.