Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

1. Рассмотрим функцию f(x)=e^x. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n +1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e^x.

Например, при x =1, ограничиваясь n =8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

причем остаток

Отметим, что для любого x  R остаточный член

Действительно, так как ξ  (0; x), то величина e ^ξ ограничена при фиксированном x. При x > 0 e ^ξ < e^x. Докажем, что при фиксированном x

Имеем

Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что | x |< N.

Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,

Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить e^x с любой степенью точности.

2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x) =sin x.

Найдем последовательные производные от функции f(x) =sin x.

Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

Несложно заметить, что преобразовав n -й член ряда, получим

.

Так как , то аналогично разложению e^x можно показать, что для всех x.

Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n =3 будем иметь:

Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

4. f(x) =ln (1+ x). Заметим, что область определения этой функции D(y) =(–1; +∞).

Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

Можно доказать, что если x  (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x  (–1;1].

5. f(x) = (1+ x)^m, где m  R, m≠0.

При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

И следовательно,

Можно показать, что при | x |<1