Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика

О п р е д е л е н и е 14. График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если в пределах он лежит не выше (не ниже) любой своей касательной.

О п р е д е л е н и е 15. Точка называется точкой перегиба графика функции , если в некоторой окрестности точки график функции расположен по разные стороны от касательной, проходящей через точку .

Т е о р е м а 10 (достаточное условие выпуклости (вогнутости)). Пусть во всех точках интервала функция дважды дифференцируема и выполнено условие:

.

Тогда в интервале график функции выпуклый (вогнутый).

Т е о р е м а 11 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция удовлетворяет условиям:

1) имеет конечную вторую производную на интервале за исключением, быть может, точки

2) число равно нулю или не существует;

3) функция имеет разные знаки на интервалах и

Тогда график функции имеет перегиб в точке .