Примеры с решениями. П р и м е р 1. Найти производную функции

П р и м е р 1. Найти производную функции

Р е ш е н и е. Используя основные правила дифференцирования и формулу (2), находим:

О т в е т:

П р и м е р 2. Найти производную функции

Р е ш е н и е. Применив формулу для производной частного

,

получаем:

О т в е т:

П р и м е р 3. Дана функция Найти вторую производную

Р е ш е н и е. Последовательно вычисляем:

= ,

,

О т в е т: .

П р и м е р 4. Найти производную функции

Р е ш е н и е. Данная функция является сложной:

, где

Отсюда находим:

Поэтому, воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, получаем:

О т в е т:

П р и м е р 5. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке

Р е ш е н и е. Найдем производную функции в точке ( >0):

Найдем числа :

,

Поэтому уравнение касательной в точке имеет вид:

, то есть .

О т в е т: .

П р и м е р 6. Вычислить предел

.

Р е ш е н и е. Воспользуемся правилом Лопиталя:

О т в е т: +¥.

П р и м е р 7. Вычислить предел

.

Р е ш е н и е. Воспользуемся правилом Лопиталя:

О т в е т: 3.

П р и м е р 8. Вычислить предел

.

Р е ш е н и е. Раскроем неопределенность:

О т в е т: 0.

П р и м е р 9. Вычислить предел

.

Р е ш е н и е. Раскроем неопределенность:

О т в е т:

П р и м е р 10. Вычислить предел

.

Р е ш е н и е. Раскроем неопределенность:

О т в е т:

П р и м е р 11. Найти дифференциал функции

Р е ш е н и е. Найдем производную функции:

.

Следовательно, по определению дифференциала получаем:

.

О т в е т: .