Примеры с решениями. П р и м е р 1. Исследовать функцию на Непрерывность

П р и м е р 1. Исследовать функцию на непрерывность. Определить тип ее точек разрыва.

Р е ш е н и е. Функция является элементарной. Область определения функции: . Следовательно, по теореме 5 функция непрерывна во всех точках .

Исследуем на непрерывность точку . Она − предельная точка множества , но не принадлежит . Следовательно, точка − точка разрыва функции .

Определим тип точки разрыва , для чего вычислим в этой точке односторонние пределы. Получаем:

(см. рис. 1).

у y=

1

O x Рис. 1

О т в е т: непрерывна в области ,

точка является точкой разрыва второго рода.

П р и м е р 2. Исследовать функцию

на непрерывность. Определить тип ее точек разрыва.

Р е ш е н и е. Функции и являются элементарными, определены на всей вещественной прямой. Следовательно, по теореме 5 они непрерывны во всех точках . Значит, в частности, функция непрерывна на отрезке , функция непрерывна на промежутке .

Следовательно, функция

непрерывна во всех точках промежутков и , а также непрерывна слева в точке .

Таким образом, остается исследовать точку на непрерывность. Вычисляем:

,

(см. рис. 2).

у

3

2

-1 O 1 4 x

Рис. 2

О т в е т: непрерывна на промежутках и ,

непрерывна слева в точке ,

точка – точка разрыва первого рода.

П р и м е р 3. Найти асимптоты кривой

Р е ш е н и е. 1) Функция является элементарной. Она не определена в точке

Вычислим в этой точке односторонние пределы:

Таким образом, − точка разрыва второго рода функции , а значит, уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции.

2) Найдем наклонные асимптоты:

Следовательно, прямая является для графика функции наклонной асимптотой при и при

О т в е т: вертикальная асимптота;

- наклонная асимптота

при и

П р и м е р 4. Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции

Р е ш е н и е. 1) .

2) Найдем производную

.

Значит, функция дифференцируема и .

3) Найдем критические точки функции :

при и ;

4) Разобьем область на интервалы найденными критическими точками. По контрольным точкам определим знак производной в этих интервалах и составим таблицу:

1 3

знак + 0 - - 0 +

вывод о max min

О т в е т: интервалы возрастания:

интервалы убывания:

точка точка максимума,

точка – точка минимума,

П р и м е р 5. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости кривой

Р е ш е н и е. 1)

2) Найдем вторую производную :

Отсюда, в частности, заключаем: .

3) Найдем нули функции :

4) Разобьем область на интервалы точками -1 и 1. По контрольным точкам определим знак на этих интервалах и составим таблицу:

-1 1

знак + 0 - 0 +

вывод о вогнутый точка выпукл. точка вогнутый

графике функции перегиба перегиба

О т в е т: интервал выпуклости:

интервалы вогнутости:

точки перегиба: и

П р и м е р 6. Исследовать функцию

и построить ее график.

Р е ш е н и е. Выполним исследование свойств функции по описанной выше схеме.

1)

2) Функция не является периодической, так как не существует числа Т> 0, для которого

3) Исследуем функцию на четность или нечетность:

Следовательно, и . Значит, − функция общего вида.

4) Найдем точки пересечения графика с осями координат:

а) с Ох: =0 при =1. Следовательно, график функции пересекает ось Ох в точке (1;0);

б) с Оу: график функции не пересекает ось Оу, так как 0

4) Найдем интервалы знакопостоянства функции:

>0 на и , <0 на

6) Исследуем функцию на непрерывность. Она − элементарная, а значит, непрерывна во всех точках области определения. В точке х =0 функция не определена, но эта точка является предельной для области определения.

Значит, точка х =0 – точка разрыва функции.

Определим тип точки разрыва, вычислив в ней односторонние пределы

Значит точка х =0 - точка разрыва второго рода функции .

7) Найдем асимптоты графика.

В точке х =0 функция имеет разрыв второго рода, следовательно, прямая х =0 − вертикальная асимптота графика функции

Найдем наклонные асимптоты графика:

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой кривой при и при

8) Найдем интервалы возрастания, убывания функции, ее экстремумы.

а) Найдем производную

.

б) Найдем критические точки:

функция не существует в точке , но .

в) Составим таблицу:

0

знак

0

вывод

о

Следовательно, интервал возрастания: ;

интервалы убывания: и ;

точка есть точка минимума,

9) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.

а) Найдем вторую производную :

= .

б) Найдем точки, в которых =0 или не существует:

¹0 ;

не существует при х =0, но 0

Следовательно, кривая не имеет точек перегиба.

в) Составим таблицу:

0

знак + +

вывод о вогнутый вогнутый

графике

Следовательно, график функции не имеет точек перегиба и всюду вогнутый.

Для построения графика функции полученные результаты исследования удобно свести в таблицу:

0

- 0 + -

+ + + +

min

Итогом проведенных исследований является график функции

(см. рис.3).

у

О 1 х

Рис. 3

П р и м е р 7. Исследовать функцию

и построить ее график.

Р е ш е н и е. Функция является элементарной.

1)

2) Функция не является периодической, так как не существует числа Т >0, для которого

3) Так как область определения функции не является симметричной относительно начала координат, то изучаемая функция не может быть четной или нечетной, то есть функция общего вида.

4) Находим точки пересечения графика функции с осями координат:

а) с Ох: =0 =1.

Следовательно, график функции пересекает ось Ох в точке (1;0).

б) с Оу: график функции не пересекает ось Оу, так как 0

5) Найдем промежутки знакопостоянства функции:

>0 >0 >0 >1.

Следовательно, с учетом области определения функция положительна на интервале Аналогично, <0 на интервале

6) Функция непрерывна во всех точках области определения. В точке х =0 функция не определена, но эта точка является предельной для множества Следовательно, точка х =0 – точка разрыва функции .

Вычислим :

.

Значит, точка х =0 - точка разрыва второго рода.

7) В точке х =0 функция имеет разрыв второго рода, следовательно, прямая х =0 является вертикальной асимптотой графика функции

Найдем наклонную асимптоту kx+b графика функции при . Используя правило Лопиталя, находим:

Следовательно, прямая - наклонная асимптота кривой при .

При наклонная асимптота не существует, так как функция не определена на промежутке .

8) Исследуем функцию на возрастание, убывание и найдем ее экстремумы.

а) Найдем производную

, .

б) Найдем критические точки:

функция не существует в точке , но .

в) Составим таблицу:

знак

+ 0

вывод max

о 0

Следовательно, интервал возрастания: ;

интервал убывания: ;

точка является точкой максимума,

9) Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.

а) Найдем вторую производную :

=

, .

б) Найдем точки, в которых =0 или не существует:

;

не существует при , но 0

Следовательно, кривая имеет точку перегиба .

в) Составим таблицу:

знак

0

вывод о выпуклый точка вогнутый

графике перегиба

Следовательно, график функции выпуклый в интервале ; вогнутый в интервале , – точка перегиба.

Для построения графика функции удобно свести в единую таблицу полученные выше результаты исследований:

+ 0 ― ― ―

― ― ― 0 +

mах точка

2/е перегиба

0

Итогом проведенного исследования является график функции

(см. рис. 4).

у

О 1 х

Рис. 4