Арифметические операции над сходящимися послед

-2 послед., -нек. числа

; ; ;

6.Достаточный признак сходимости числовых посл.

Если последовательность ограниченая и монотонная то она сходится.

Пусть а=sup По определению supremum,если

: a- <

Для определенности рассматриваем неубывающую послед.

Поскольку монотонная неубывающая послед.

т.к.

т.е. <

7. число : числом наз. предел

число Неппера

явл. трансцендентным

8.Принцип вложенных отрезков.

Пусть заданна с-ма влож.отрезков :

Причём =0

Тогда единственная т.

неубывающвя и ограничена пусть невозрастающая и ограничена.

иначе нарушается >

9 .Подпоследовательности.Теорема Больцано—Вейерштрасса.

Опр. Дана если рассмотреть послед-ть,кот-я состоит из таких? членов но не всех,причём порядок следования сохраняетсяется,то такая посл-ть наз.подпоследовательностью последовательности

Замечание:

---Если посл-ть то и всякая её подпосл-ть также сходится к

---Расходящаяся посл-ть может иметь счодящиеся подпосл-ти

Теорема Больцано—Вейерштрасса.

Из всякой ограниченой посл-ти можно извлечь сходящуюся подпосл-ть.

Док-во:

Поскольку все члены посл-ти ограничены то точки max на отрезке.

выборочный член

разделим напополам и обозначим через ту часть,которая содержит бесконечно много членов то найдена : .Разделим напополам и выберем -содержащий бесконечно много членов

продолжим до в результате получим члены этой посл-ти max внутри с-мы.

10. Верхний и нижний пределы последовательностей:

, -предельная точка этой последовательности если существует подпосл-сть

Верхним пределом последовательности наз. наибольшая из предельных точек данной последовательности.

Нижним пределом наз. наименьшая из предельных точек

-верхний предел

-нижний предел

11.Фундаментальныепоследовательности, критерий сходимости Коши:

наз. фундаментальной если > : <

Теорема: Критерий сходимости Коши:

Последовательность сходиться т.и.т.т., к. она фундаментальная; Без док-ва.

13. Различные опред. предела:

a)по Гейне число наз. пределом при

если такое,что

b)по Коши:

число наз пределом ф-ии при

если > > т. что < < <

НЕ ПОЛНОСТЬЮ!!!

15.Первый замечательный предел:

;док-во:

-четная ф-ия

>0

Без понятного рисунка

< <

< <

;

след:

16.2-ой земечат. предел:

;док-во:

Аналогично: ;знач: ;при

доказано,что

Пусть ;

знач. ;соответственно:

;

17. Бесконечно малые и беск. Большие ф-ии.

-Б.М. при если:

-Б.Б. если

Свойства:

1. ББ при -БМ при

2. Сумма(призведение) БМ ф-ий явл БМ ф-ей для ББ ф-ий

то же самое

3.если -ББ при и огран. в ,то

- БМ при

Ассимтотич. оценки:

Пусть и - БМ ф-ии при

Если

То ф-ии и наз. бесконечно малыми одного порядка:

если ,то ф-ии наз. эквивалентными при

если то говорят -БМ более высокого порядка чем :

если ; ,то говорят:

что-то там на счет к-ого порядка.

Теорема о пределе отношений БМ ф-ий.