Геометрические приложения производной

Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке : , где (рис.1).

Рис. 1.

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

.

Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу , а знак “минус”— тупому.

Если , то касательные — взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции — парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая с уравнением параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны:

, , .

x ₀ = 3 — абсцисса точки касания параболы и прямой , — ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид: (рис. 2).

Рис.2