Задача ДС.4. Застосування теореми про зміну кінетичної енергії механічної системи

Механічна система (рис. 16 - 23) починає рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння. Знайти швидкість та прискорення тіла 1 на момент часу, коли воно пройде шлях , користуючись теоремою про зміну кінетичної енергії. Маси, моменти інерції та розміри тіл, які входять до системи наведені в таблиці 4.

Таблиця 4 – вихідні дані для задачі ДС.4

№	рис	, кг	, кг	, кг	, кг		, м	, м	, кг·м2	, м	, м	, кг·м2	, градус	, м
						0,1	0,3	0,2	0,12	0,2	-	0,04
						0,2	0,25	-	0,13	0,3	0,2	0,18
						0,15	0,3	-	0,08	0,4	0,3	0,25
						0,1	0,2	-	0,08	0,2	0,1	0,09
						0,2	0,2	0,1	0,015	0,5	-	0,35		1,2
						0,15	0,5	-	0,8	0,3	0,2	0,12		1,5
						0,1	0,3	-	0,18	0,4	0,3	0,24
						0,2	0,1	-	0,012	0,5	0,25	0,8		2,4
						0,15	0,3	0,15	0,09	0,3	-	0,25
						0,2	0,1	-	0,015	0,2	0,15	0,07
						0,1	0,2	-	0,08	0,4	0,2	0,27
						0,12	0,1	-	0,01	0,3	0,15	0,25
						0,15	0,2	0,1	0,06	0,4	-	0,24
						0,2	0,3	-	0,18	0,3	0,1	0,12
						0,1	0,1	-	0,016	0,2	0,1	0,09
						0,12	0,2	-	0,05	0,3	0,15	0,16
						0,15	0,4	0,2	0,025	0,4	-	0,30
						0,1	0,3	-	0,14	0,2	0,15	0,06
						0,2	0,15	-	0,03	0,3	0,2	0,18		1,5
						0,1	0,25	-	0,1	0,4	0,3	0,5		2,5
						0,15	0,4	0,2	0,18	0,3	-	0,14
						0.1	0,35	-	0,2	0,2	0,1	0,04		2,5
						0,2	0,25	-	0,1	0,3	0,15	0,25		1,5
						0,15	0,15	-	0,03	0,4	0,3	0,35
						0,12	0,3	0,1	0,16	0,5	-	0,32
						0,2	0,15	-	0,09	0,4	0,3	0,5
						0,1	0,25	-	0,07	0,2	0,1	0,07		1,3
						0,2	0,3	-	0,2	0,5	0,3	0,48		1,8
						0,1	0,2	0,1	0,06	0,4	-	0,18		1,5
						0,12	0,15	-	0,03	0,3	0,1	0,10

	Рис. 17
	Рис. 2 1

Приклад: Механічна система (рис. 24) починає рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння. Знайти швидкість та прискорення тіла 1 на момент часу, коли воно пройде шлях , користуючись теоремою про зміну кінетичної енергії.

Розв’язок. Будемо вважати, що тіло 1 починає рух у напрямку праворуч догори і на момент, коли воно пройде шлях S ₁, набуває швидкості v ₁.

Згідно з теоремою про зміну кінетичної енергії, ця зміна дорівнює роботі зовнішніх сил

, (1)

де - кінетична енергія системи на даний момент часу, - початкова кінетична енергія системи. Оскільки в початковому стані система нерухома , то

. (2)

Тіло 2 в цей момент часу буде обертатися за стрілкою годинника з певною кутовою швидкістю , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти стрілки годинника з кутовою швидкістю , а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз з певною швидкістю . Тіло 4 буде рухатись теж вниз і, оскільки воно закріплено до осі блоку 3, його лінійна швидкість (рис. 24).

Підрахуємо кінетичну енергію системи на момент часу, коли тіло 1, пройде шлях , як суму кінетичних енергій її компонентів

, (3)

де:

, (4)

, (5)

, (6)

. (7)

Щоб знайти кінетичну енергію системи як функцію швидкості першого тіла, проведемо кінетичний аналіз механізму, і встановимо зв’язок між лінійними та кутовими характеристиками руху різних елементів механічної системи.

Легко бачити, що точка А блоку 2 має також саму лінійну швидкість, що і тіло 1, і зв’язок лінійної швидкості з кутовою швидкістю блока 2 очевидний

. (8)

В такому випадку лінійна швидкість точки В (як і точки D) знайти як

. (9)

Щоб знайти лінійну швидкість та кутову швидкість , скористуємось тою обставиною, що тіло 3 здійснює плоскопаралельний рух з ненульовою кутовою швидкістю, і, у цьому випадку має миттєвий центр швидкості (МЦШ), який розташовано в точці Р. Тоді

,

звідки, з урахуванням (9), можна отримати вираз для

. (10)

Швидкість центру блока 3 (одночасно і швидкість тіла 4) отримаємо з співвідношення

. (11)

Просумуємо (4) - (8) з урахуванням кінематичних зв’язків (8), (10), (11)

. (12)

Знайдемо роботу зовнішніх сил як суму робот окремих сил:

. (13)

В нашому випадку зовнішніми силами є сили тяжіння: , , , , нормального тиску , та тертя .

Оскільки сила опору перпендикулярна переміщенню її робота дорівнює нулю. Сила тертя протилежна переміщенню і її робота від’ємна

. (14)

Складова сили тяжіння вздовж вектора переміщення дорівнює , і, оскільки ці вектори протилежні за напрямом, робота сил тяжіння для переміщення першого тіла теж від’ємна

. (15)

Зауважимо, що такий самий результат ми отримаємо з того факту, що перше тіло рухається догори (проти сили тяжіння) і робота сили тяжіння у цьому випадку від’ємна – доведіть це самі.

Оскільки друге тіло не змінює свого положення внаслідок дії зовнішніх сил та , робота цих сил дорівнює нулю.

Центри мас третього та четвертого тіл зміщуються вертикально додолу під дією сил та відповідно, отож:

, . (16)

Очевидно, що в нашому випадку , а зв’язок з знайдемо з кінематичного аналізу механізму. Вище ми показали (11), що . Оскільки, за визначенням, , то, інтегруючи (11), легко отримаємо

. (17)

Підставляючи (17) в (16), та сумуючи (14) - (16), отримаємо

. (18)

Оскільки зміна кінетичної енергії (12) дорівнює роботі зовнішніх сил (18), то

=

= ,

звідки знаходимо вираз, який визначає швидкість тіла 1

. (19)

Якщо в результаті розрахунків отримуємо , то потрібно змінити напрями руху тіл 1, 3, 4 та обертання тіла 4. При цьому у формулах (15) - (16) необхідно внести відповідні зміни щодо роботи сил тяжіння, що приведе до наступних змін у кінцевій формулі (19): в чисельнику зміняться знаки при масах тіл 1, 3 та 4 і зміниться знак при коефіцієнті тертя f, бо сила тертя ковзання завжди напрямлена проти напряму руху тіла і отримуємо

. (20)

Якщо і цьому випадку знову отримуємо , то система зберігає стан спокою за рахунок дії сил тертя ковзання.

Прискорення першого тіла знайдемо, взявши похідну за часом від (19)

=

= ,

звідки

. (21)

Відповідь: ,

.