Задача ДС.5. Динаміка поступального, обертального та плоского рухів системи тіл

Визначити прискорення тіл та натяги мотузок, якими скріплені тіла механічної система (схеми приведені на рис. 25 - 30, маси тіл (кг), їх моменти інерції (кг^.м ² ), кути в градусах та розміри тіл, які входять до системи, відомі і наведені в таблиці 5). Тіла починають рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння. Кочення тіла 3 відбувається без ковзання. Коефіцієнт тертя ковзання між похилою площиною та тілом . Тертям кочення, силами опору у підшипниках та масою мотузок нехтувати. Мотузки вважати нерозтяжними.

Таблиця 5

Вихідні дані для задачі ДС.5

№	рис					,	,	,	,	,	,	,	,
					0,10	0,25	-	0,12	0,20	0,10	0,04		-
					0,20	0,30	0,15	0,13	0,30	-	0,18
					0,15	0,20	0,10	0,08	0,40	-	0,25		-
					0,10	0,30	0,10	0,08	0,20	-	0,09		-
					0,20	0,20	0,10	0,015	0,50	-	0,35
					0,15	0,50	-	0,8	0,30	0,10	0,12		-
					0,10	0,30	-	0,18	0,45	0,15	0,24		-
					0,20	0,40	0,10	0,012	0,50	-	0,8
					0,15	0,30	0,10	0,09	0,30	-	0,25		-
					0,20	0,30	0,15	0,015	0,20	-	0,07		-
					0,10	0,30	0,10	0,08	0,40	-	0,27
					0,12	0,10	-	0,01	0,30	0,15	0,25		-
					0,15	0,25	-	0,06	0,40	0,20	0,24		-
					0,20	0,30	0,15	0,18	0,30		0,12
					0,10	0,20	0,10	0,016	0,20		0,09		-
					0,12	0,30	0,10	0,05	0,30		0,16		-
					0,15	0,20	0,10	0,025	0,40		0,30
					0,10	0,50	-	0,14	0,30	0,10	0,06		-
					0,20	0,30	-	0,03	0,30	0,10	0,18		-
					0,10	0,40	0,10	0,1	0,40	-	0,5
					0,15	0,30	0,10	0,18	0,30	-	0,14		-
					0.10	0,30	0,15	0,2	0,20	-	0,04		-
					0,20	0,30	0,10	0,1	0,30	-	0,25
					0,15	0,10	-	0,03	0,45	0,30	0,35		-
					0,12	0,25	-	0,16	0,45	0,30	0,32		-
					0,20	0,30	0,15	0,09	0,40	-	0,5
					0,10	0,20	0,10	0,07	0,20	-	0,07		-
					0,20	0,30	0,10	0,2	0,50	-	0,48		-
					0,10	0,20	0,10	0,06	0,40	-	0,18
					0,12	0,50	-	0,03	0,30	0,10	0,10		-

Приклад. Визначити прискорення тіл та натяги мотузок, якими скріплені тіла механічної система (рис. 31), яка починає рухатись зі стану спокою під дією сил тяжіння. Коефіцієнт тертя між похилою площиною та тілом - f. Маси, моменти інерції та розміри тіл, які входять до системи, відомі. Тертям кочення, силами опору у підшипниках та масою мотузок нехтувати.

Розв’язок. Будемо вважати, що тіло 1 починає рух догори похилої площини і на момент, коли воно пройде шлях S ₁, має прискорення .

В цьому випадку тіло 2 буде обертатися за стрілкою годинника з певним кутовим прискоренням , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти стрілки годинника з кутовим прискоренням , а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз з лінійним прискоренням (рис. 32).

З’ясуємо сили, які діють на кожне з тіл нашої системи щоб записати рівняння руху кожного тіла. Так, на перше тіло діють сила тяжіння , реакції опори , сили тертя та натягу ниті . Векторна сума цих сил зумовлює прямолінійний рух першого тіла

. (1)

На друге діють: сили тяжіння , реакція осі блоку та натяги ниток та . Сума моментів цих сил відносно закріпленої осі зумовлює обертальний рух другого тіла. Оскільки момент сили відносно осі блоку дорівнює нулю, рівняння обертального руху тіла 2 набуває вигляду

. (2)

На трете тіло діють сили натягу ниток , та сила тяжіння - ці сили зумовлюють плоскопаралельний рух третього тіла, який запишемо як суперпозицію поступального руху його центра С з лінійним прискоренням та обертального руху навколо цього центру з кутовим прискоренням :

, (3)

. (4)

Послідовно отримаємо скалярні рівняння руху для кожного з тіл, які входять до нашої системи. Для першого тіла спрямуємо вісь декартової системи координат вздовж напряму його руху, вісь перпендикулярно до похилої площини. Тоді прискорення першого тіла вздовж похилої площини буде визначаться проекціями сил тяжіння, опору та тертя на вісь . З урахуванням того факту, що , запишемо рівняння поступального руху першого тіла:

. (6)

Спрямуємо вісь через центр другого тіла, перпендикулярно площині рисунку від нас і отримаємо рівняння обертального руху другого тіла

. (7)

Рух третього тіла можна визначити як суперпозицію поступального руху його центра С з лінійним прискоренням та обертальним рухом навколо цього центру з кутовим прискоренням . Для третього тіла, що здійснює плоскопаралельний рух, вісь спрямуємо вздовж прискорення поступального руху (вниз), а вісь обертання - проведемо крізь його центр перпендикулярно до площини рисунку до нас (в напрямі кутового прискорення тіла). Тоді рівняння поступального руху центра третього тіла та обертального руху навколо цього центру набувають вигляду:

, (8)

. (9)

Таким чином, ми отримали систему чотирьох рівнянь (6)-(9) з 9 невідомими: , , , , , , , , . Щоб зменшити кількість невідомих, скористуємось третім законом Ньютона і умовою невагомості нитки:

, . (10)

Умови відсутності деформацій ниток дає рівняння, які зв’язані між собою прискорення , , та . Прискорення точки А співпадає з прискоренням першого тіла, тому

. (11)

Трете тіло здійснює плоскопаралельний рух з ненульовою кутовою швидкістю , отож, це тіло має миттєвий центр швидкостей (МЦШ) навколо якого воно здійснює обертальний рух з кутовою швидкістю . МЦШ розташований в точці Р – точка контакту нитки з блоком, а рівність лінійних швидкостей точок () та D () дає

, (12)

отже , що дозволяє отримати лінійне прискорення точки С