Доказательство

Докажем тождественную истинность первой формулы.

Данная формула замкнута, т.е. не имеет свободных предметных переменных. Поэтому подставим в эту формулу вместо предикатной переменной любой конкретный одноместный предикат , определенный на некотором множестве М =>получим высказывание

(*)

-тавтология

Для доказательства его истинности (*) нужно убедиться, что обе части эквивалентности одновременно истинны или одновременно ложны. В самом деле, высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание ложно, что возможно, на основании определения, тогда и только тогда, когда предикат -опровержим:

Далее, опровержимость предиката означает выполнимость предиката , что равносильно истинности высказывания (по определению)

Итак, высказывание истинно тогда и только тогда, когда высказывание истинно. Следовательно, высказывание (*) истинно, что и доказывает тождественную истинность первой формулы.

Следствие. (из закона двойного отрицания и теоремы 1). Выражение кванторов друг через друга.

а)

б)

Теорема 2. Законы пронесения кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию.

а)

б)

в)

г)

Теорема 3. Законы пронесения кванторов через импликацию.

а)

б)

в)

г)

Теорема 4. Законы удаления квантора общности и введения квантора существования.

а).

б).

Теорема 5. Законы коммутативности для кванторов.

а)

б)

в)