Численные кванторы

В математике часто встречаются выражения вида «по меньшей мере n», («хотя бы n»), «не более чем n», «n и только n» («ровно n», «точно n»), где n – натуральное число.

Рассмотрим случай n = 1.

1) Предложение «По меньшей мере один объект обладает свойством P» имеет тот же смысл, что и предложение «Существует объект, обладающий свойством P», т.е.:

2) Предложение «не более чем один объект обладает свойством P» равнозначно по смыслу предложению «Если есть объекты, обладающие свойством Р, то они совпадают»:

3) Предложение «Один и только один объект обладает свойством Р» равнозначно конъюнкции высказываний (1) и (2):

Сопоставление одноместному предикату P (x) высказывания (3) носит название операции связывания квантором существования и единственности, а само высказывание (3) иногда обозначают так:

(4)

Символ называют квантором существования и единственности по переменной x.

Например, используя этот квантор, запишем, высказывание: «Всякая сходящаяся последовательность имеет точно один предел»:

Рассмотрим случай n = 2.

1) Предложение «По меньшей мере два объекта обладают свойством Р», т.е.:

2) Предложение «Не более чем два объекта обладают свойством Р» равносильно по смыслу предложению «Каковы бы ни были объекты x, y, z, если они все обладают свойством Р, то по меньшей мере два из них совпадают», т.е.:

3) Предложение “Два и только два объекта обладают свойством Р» совпадают с конъюнкцией высказываний (5) и (6).