Формулы Френеля

Рассчитаем амплитуды отраженной и преломленной волн. Предположим, что обе среды (однородные и изотропные) обладают нулевой проводимостью и, следовательно, совершенно прозрачны; их магнитные проницаемости фактически будут отличаться от единицы на пренебрежимо малые величины, и поэтому мы положим m ₂ = m ₁ = 1.

Пусть E ₀₀ – амплитуда электрического вектора поля падающей волны, будем считать ее в общем случае комплексной величиной с фазой, равной постоянной части аргумента волновой функции. Переменная ее часть имеет вид:

,

где - единичный вектор нормали к фронту волны.

Разложим каждый вектор на компоненты - параллельную (снабдим ее индексом ||) и перпендикулярную (индекс ^) плоскости падения. Выбор положительных направлений для параллельных компонент, указан на рис. 5.5. Перпендикулярные компоненты располагаются перпендикулярно к плоскости рисунка.

Тогда компоненты электрического вектора поля падающей волны запишутся в виде:

.

Компоненты магнитного вектора сразу же получаются из соотношения (при m = 1)

.

Отсюда

,

,

.

Аналогично если E ₂₀ и E ₁₀ – комплексные амплитуды прошедшей и отраженной волн, то соответствующие компоненты электрического и магнитного векторов равны следующим величинам.

Поле волны отраженной:

; ; ; ;

; ,где

.

Поле волны прошедшей: ; ; ; ; ; ,где

;

Тангенциальные составляющие векторов и должны быть непрерывны. Следовательно должны выполнятся соотношения: ; ; ; .

При этом условия для нормальных компонент и будут удовлетворяться автоматически. Подставляя в значения всех компонент получим: (*) ; (**) ; (**) ; (*) .

Перепишем попарно формулы. В одной паре запишем только параллельные компоненты, а во второй – перпендикулярные:

(I) ;

(II) .

Преобразуем пару (I):

(III) .

Сначала сложим левые и правые части (III): .

Приведем к общему знаменателю и выразим : ;

- получили первую формулу Френеля.Теперь вычтем обе части (III): откуда сразу же получаем вторую формулу Френеля: . Эти соотношения пишутся обычно в другой форме, которую можно получить из и, используя закон преломления (5.48), а именно в форме ; .

Выполняя аналогичные преобразования со второй парой формул (11), содержащих перпендикулярные компоненты, получим еще две формулы Френеля

,

,

которые могут быть записаны в другой форме , .

Уравнения – называются уравнениями Френеля. Впервые они были введены Френелем в несколько менее общем виде в 1823 г. на основе его теории, рассматривавшей свет, как колебания упругой среды.