Дисперсия в металлах

В металлах некоторые из электронов не связаны с каким-либо определенным атомом; это "свободные" электроны, ответственные за электрическую проводимость металла. В отличие от рассмотренных выше оптических электронов в атомах диэлектрика на свободные электроны не действует "квазиупругая" сила, привязывающая их к какому-то отдельному атому, но сила "трения" характеризующая сопротивление движению электрона, остается. Поэтому уравнение классической теории дисперсии и все следствия из него можно применить к свободным электронам, положив обусловленную квазиупругой силой собственную частоту w ₀ равной нулю.

Электроны проводимости участвуют в тепловом движении и все время изменяют свое положение. В результате оказывается, что действующее на них электрическое поле в среднем как раз равно макроскопическому полю . Следовательно, мы должны взять формулу, полученную для разреженной среды (без поправки на отличие локального поля от среднего), и положить в ней w ₀ = 0: . Константа w_p зависит от концентрации N свободных электронов и называется в данном случае плазменной частотой. Постоянную затухания g в можно оценить, выразив ее через удельную проводимость металла для постоянного тока.

Формула для показателя преломления в металлах предсказывает совершенно разный характер распространения волн в областях низких и высоких частот. При низких частотах, когда w << g (для меди это соответствует электромагнитным волнам длиной порядка 1 мм и более) формула приводит к комплексному показателю преломления с одинаковыми вещественной и мнимой частями n = c >> 1. Такие волны проникают в глубь металла на расстояние, которое много меньше длины волны в вакууме (скин-эффект). Коэффициент отражения R для них близок к единице, т.е. они практически полностью отражаются от поверхности.

В противоположном случае высоких частот, удовлетворяющих неравенству w >> g в формуле можно пренебречь мнимым слагаемым 2 ig по сравнению с w и для диэлектрической проницаемости получается вещественное выражение. . При высоких частотах характер дисперсионных явлений в металлах обусловлен инерцией свободных электронов: за промежуток времени между двумя актами рассеяния, который в среднем равен t = 1/(2 g), электрон успевает совершить много вынужденных колебаний, так как при w >> g их период Т << t.

Из формулы видно, что плазменная частота w _p имеет смысл своего рода критической частоты. При w < w_p диэлектрическая проницаемость отрицательна, а показатель преломления чисто мнимый. Это значит, что волны с w < w_p (но w >> g) не могут распространяться в металле из-за сильного затухания, причем это затухание не связано с поглощением (т.е. диссипацией) энергии. В самом деле, диэлектрическая проницаемость вещественна (а истинное поглощение происходит только при Im e ¹ 0), да и выражение для e (w) получается при пренебрежении диссипативным членом в уравнении движения электрона. Фактически при w < w_p происходит полное отражение падающей волны. При чисто мнимом показателе преломления коэффициент отражения равен единице.

При w > w_p показатель преломления становится вещественным, а металл - прозрачным для излучения. Обычно плазменная частота у металлов попадает в область рентгеновских лучей, но для некоторых металлов область прозрачности начинается с ультрафиолетовых лучей. Например, у натрия длина волны, соответствующая граничной частоте w_p, составляет 210 нм, что хорошо согласуется с теоретической оценкой. Прозрачность щелочных металлов в ультрафиолетовой области спектра была обнаружена на опыте Вудом в 1943 г.

Для промежуточных частот (w» g) нужно пользоваться полным выражением, а не его предельными формами. В этом случае у показателя преломления отличны от нуля зависящие от частоты вещественная и мнимая части. Это значит, что волны разных частот при распространении в металле по-разному затухают. Очень тонкие слои металла прозрачны даже для видимого света. Например, тонкий слой золота, полученный напылением в вакууме на стеклянную подложку, пропускает видимый свет, но сильно поглощает инфракрасное излучение. Экспериментальные методы определения оптических констант металлов основаны на исследовании поляризации отраженного света.

Уравнения или, описывающие дисперсию электромагнитных волн в среде со свободными электронами, в равной мере применимы к электронам проводимости в металлах и к свободным электронам в плазме, например, в ионосферной плазме. Полученные выше выражения (при надлежащих значениях N и g) можно использовать для объяснения характера распространения радиоволн в ионосфере Земли. Граничная частота здесь попадает в радиодиапазон, поэтому волны длиной порядка 10 м и более отражаются ионосферой, что широко используется для радиосвязи, тогда как ультракороткие (УКВ) свободно проходят сквозь нее. Это обстоятельство открывает возможность радиолокации Луны и планет и жизненно важно для радиоастрономии, использующей технику ультракоротких волн. Исследование частотной зависимости отражения радиоволн дает хороший метод изучения ионосферы, в частности определения N по критической частоте.

В случае очень высоких частот w ® ¥ диэлектрическая проницаемость e (w) любого вещества стремится к единице: при очень быстрых изменениях напряженности поля процессы поляризации не успевают происходить. Предельный вид функции e (w) при больших частотах, справедливый для любых тел (безразлично – металлов или диэлектриков), можно установить, рассматривая электроны вещества как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов. Для этого частота w поля должна быть велика по сравнению с собственными частотами w электронов в атомах данного вещества. Пренебрегая w ₀ по сравнению с w, для e (w) получаем такое же выражение, как и в металлах: с той разницей, что в под N нужно понимать не концентрацию электронов проводимости, а полное число электронов в единице объема вещества. Область применимости этой формулы начинается от далекого ультрафиолета у самых легких элементов и от рентгеновских частот у более тяжелых элементов.

При частотах, соответствующих рентгеновскому излучению, перестает выполняться условие l >> a (a – среднее расстояние между атомами среды). Поэтому, строго говоря, макроскопическое описание поля здесь неприменимо и среду нельзя рассматривать как непрерывную. Нужно исходить из рассеяния рентгеновского излучения на отдельных электронах, распределенных в пространстве с некоторой плотностью N (x, y, z)). В кристаллах эта функция координат будет трехмерно периодической, отражая упорядоченное расположение атомов в узлах кристаллической решетки. Когда длина волны меньше пространственного периода решетки, при определенных условиях возможно появление волн, распространяющихся в направлениях, сильно отличающихся от направления падающей волны. Это явление подобно образованию дифракционных максимумов при попадании света на оптическую дифракционную решетку. Однако если интересоваться распространением рентгеновского излучения в веществе в направлении, близком к направлению падающей волны, то зависимость плотности числа электронов N (x, y, z) от координат становится несущественной и вместо нее можно рассматривать усредненную по объему величину N – полную концентрацию электронов. Поэтому для преломления на малые углы, несмотря на нарушение условия l >> a диэлектрическая проницаемость e (w) и показатель преломления n (w) сохраняют свой обычный смысл и для рентгеновского излучения.

Из приведенной формулы видно, что показатель преломления рентгеновских лучей меньше единицы, хотя и очень мало отличается от нее. Его можно измерить, наблюдая предельный угол полного отражения рентгеновских лучей при переходе из воздуха в среду. Для l = 0,1 нм в стекле n = 1 – 5×10^–6.

Широкое применение рентгеновских лучей в медицине и в технике основано именно на том, что показатель преломления для них практически не отличается от единицы. Глубина проникновения рентгеновских лучей в металлах больше, чем для видимого света, но во многих других веществах она даже отдаленно не приближается к тем громадным глубинам проникновения, которых можно достичь в видимой или инфракрасной области. Прозрачная для видимого света атмосфера Земли полностью поглощает приходящее из космоса рентгеновское излучение (рентгеновская астрономия стала возможной только при выведении телескопов на спутниках за пределы атмосферы). Аналогично обстоит дело и в таких средах, как вода и стекло. Но видимый свет, для которого показатели преломления этих сред имеют значения около 1,5, чрезвычайно чувствителен к внутренним граничным поверхностям. В таких неоднородных средах, как, например, мышцы и другие ткани организма, происходит диффузное отражение света на многочисленных граничных поверхностях, разделяющих отдельные области, что делает эти среды непрозрачными для видимого света. Рентгеновские лучи, для которых во всех средах n» 1, как бы не замечают этих граничных поверхностей. Поэтому шапка мыльной пены совершенно не прозрачна для видимого света (дает на экране черную тень) и полностью прозрачна для рентгеновских лучей.