Примечания к пояснениям 2.1 и 2.2

1 – Девятая аксиома первой книги Начал < И две прямые не содержат пространства >. Евклид имеет ввиду - две прямые не образуют замкнутого контура – не пересекаются дважды – не имеют двух общих точек.

2 – Здесь и далее будем опираться на издание трудов Н. И. Лобачевского «ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ ПО ГЕОМЕТРИИ» Редакция академика П. С. Александрова, Б. Н. Делоне и П. К. Рашевского. ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ НАУК СССР МОСКВА · 1956

3 - Здесь я процитирую Андрея Юрьевича Грязнова: Если какой-нибудь математик скажет, что он может себе представить в созерцании неевклидово пространство, вряд ли это можно воспринимать буквально. Пример псевдосферы, на которой не справедлива геометрия Евклида, конечно, к данному вопросу не относится. Ведь на этой поверхности нет ни настоящих треугольников, ни настоящих прямых. А так называемые геодезические («прямейшие») - это, вообще говоря, кривые линии. И, разумеется, прямая не есть, по определению, кратчайшее расстояние между двумя точками. Прямую вообще нельзя определить, т.к. это не дискурсивное понятие, а чистое созерцание, в котором дается прямизна²⁸. Понятие расстояния (даже при его аксиоматическом задании) методологически предполагает представление о прямой, а аксиоматический метод опирается на все те же трансцендентальные формы, о которых говорит Кант²⁹. Примечание 28 Суждение прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками является, по Канту, априорно-синтетическим, т.к. количественный момент (кратчайшее расстояние) не может быть аналитически выведен из качественного (прямизна). Примечание 29 Несостоятельность тезиса о том, что сам факт существования неевклидовых геометрий опровергает кантовский априоризм, убедительно показывает В. Я. Перминов в статье «Неевклидовы геометрии и философия математики И. Канта» // История и методология естественных наук. Вып. XXV. М., 1980 Эта цитата и примечания взята из статьи А. Ю. Грязнова «Методология физики и априоризм Канта» Журнал ВОПРОСЫ ФИЛОСОФИИ №8, 2000.

4 – Это «непохожее» утверждение, (как я его назвал в самом начале) выполняющее в геометрии Лобачевского роль одиннадцатой аксиомы у Лобачевского – шестнадцатое предложение труда - «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (входит в то же издание трудов Лобаческого).

5 – угол5 + угол4 + угол3 это сумма углов треугольника mkd.

6 – так как угол5 + угол4 + угол1 = 2∟ (два прямых угла)

7 – Согласно пятнадцатому предложению Начал: < Если две прямые пересекаются, то образуют углы через вершину, равные между собой.>

рисунок 57

8 – Ибо если бы угол пересечения «линий» был и углом между ними («линиями») как таковыми, то согласно приведённым рассуждениям мы бы имели то, что имеем в Евклидовой геометрии: в частности угол2 = угол1.

9 – Надо заметить – я бы не стал утверждать, что Н. И. Лобачевский считал их (да и своё пространство) совершенно непредставимыми – так в самом начале своего сочинения - ВООБРАЖАЕМАЯ ГЕОМЕТРИЯ (входит в то же издание трудов Лобачевского на которое я опираюсь) он пишет об этом так < Кто ни думал найти решение затруднительного вопроса, все без исключения ошибались, будучи предубеждены в справедливости того, что не может ещё следовать прямо из наших понятий о телах, без пособия наблюдений, как я, думаю, доказал это несомнительно в моём сочинении о началах Геометрии. > Под затруднительным вопросом Лобачевский подразумевает строгое математическое доказательство одиннадцатой аксиомы. В то же издание трудов входит его работа НОВЫЕ НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ С ПОЛНОЙ ТЕОРИЕЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ где Лобачевский приводит подробные размышления на эту тему.