Пояснение 2.2

Так, если заменить одиннадцатую аксиому альтернативным утверждением (4) и продолжать доказательства – получается геометрия Лобачевского. «Прямые» - такой геометрии, конечно, не есть прямые в полном смысле этого слова. Как отличаются их свойства от свойств прямых можно понять на таком примере: Возьмём две некоторые параллельные прямые (перпендикуляры к некоторой – как показано на рисунке)

рисунок 53

И взяв на прямой B точку t, соединим её с точкой m прямой N. Тогда поскольку параллельные (A и B) пересекаются некоторой N, то угол1 = угол2.

Это можно также видеть и из следующего – поскольку прямые A и B отличаются от некоторой (прямой C) на одинаковый угол в одну сторону

рисунок 54

то друг от друга они не отличаются ни на какой угол. Для обозначения углов между прямыми я нарисовал стрелки. (В данном случае углы прямые, но как видно из рисунка это справедливо и в общем случае)

Теперь поскольку прямая N отличается от прямой A на угол 1, а прямая A от прямой B не отличается ни на какой угол, то прямая N и от прямой B должна отличаться на тот же угол в ту же сторону, то есть угол2 = угол1.

рисунок 55

То есть угол пересечения прямых определяется углом между ними как таковыми и обратно.

Выполним теперь такое же построение в геометрии Лобачевского.

рисунок 56

Так как сумма углов всякого треугольника у Лобачевского меньше двух прямых углов (меньше π) (мы дальше докажем это) то значит углы 5 и 4 взятые вместе с углом 3 меньше, (5) чем они же взятые вместе с углом 1 (угол5 + угол4 + угол3 < угол5 + угол4 + угол1). (6) А значит и угол 3 меньше угла 1, и угол 2 меньше угла 1. (7) Значит угол2 < угол1

рисунок 58

то есть в геометрии Лобачевского угол между линиями, как таковой отсутствует и есть лишь угол пересечения «линий». – в частности поэтому их можно назвать в некотором смысле кривыми линиями – по аналогии с тем, что между обычными кривыми линиями также не существует определённого угла. (8) Вообще же мне думается, что это некоторые абстрактные – непредставимые, но допускаемые нами объекты. (9) Изображения же их я думаю нужно понимать вот как: рисуя их, мы рисуем обычные – представимые объекты – линии, которые имеют ту же конфигурацию (например, в виде буквы Н, с прямыми углами в пересечениях, как на первом рисунке, где я рисовал линии Лобачевского), что и линии в непредставимом пространстве. Или, например, такую конфигурацию.

рисунок 59

Эти рассуждения остаются неизменными и если бы мы выполнили построение не перпендикуляров, а просто линий (прямых или линий Лобачевского) под произвольными но равными углами к некоторой. (внешним и внутренним конечно.)