Теорема Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность р появления события А в каждом испытании при неограниченном возрастании числа испытаний n изменяется таким образом, что некоторое событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях стремится к величине , то есть .

Доказательство: По формуле Бернулли вероятность того, что событие появится ровно k раз в n независимых испытаниях

, где q=1-p.

Отсюда .

По условию .

Подставляя, получим

Перейдем к пределу при , т.е.

.

— формула Пуассона.

Теоремой удобно пользоваться, когда р→0, . Существуют специальные таблицы, в которых приведены значения вероятностей для различных а и k.

Формулой Бернулли удобно пользоваться, когда значение n не очень велико. Если же n достаточно велико, то удобнее пользоваться приближенными формулами, одна из которых содержится в следующей теореме.