Простейший поток событий

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

o Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последствия и ординарности.

o Поток событий называется стационарным, если вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t зависит только от k и t.

Таким образом, свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися. Например, вероятности появления k событий на промежутках времени (1, 7), (10, 16), (Т, Т+6) одинаковой длительности t=6 единиц времени равны между собой.

o Поток событий называется ординарным,если за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Таким образом, свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события в один и тот же момент времени практически равна нулю.

o Говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последствия, если имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени. Таким образом, свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появились или не появились события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при произвольном предположении о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (т.е. сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Следовательно, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

o Поток событий называется простейшим или пуассоновским, если он стационарный, ординарный, без последствия.

o Интенсивностью потока λ называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за промежуток времени длительности t определяется по формуле:

, . Формула Пуассона.

Эта формула отражает все свойства простейшего потока, поэтому ее можно считать математической моделью простейшего потока.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит: а) два вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

По условию λ=2, t=5, k=2. По формуле Пуассона

А) —это событие практически невозможно.

Б) —событие практически невозможно, т.к. события «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов»­­—несовместимы.

В) —это событие практически достоверно.