Формулы полной вероятности и Байеса

Теорема 1. Если события Н₁, Н₂,…,Н_n образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

, или .

Так как события образуют полную группу, то можно записать .

Событие А может произойти только с одним из событий H_i, i {1,2,…,n}, то А=АН₁+АН₂+…+АН_n. По теореме сложения вероятностей

Пример. Имеются 2 урны. В первой—3 белых и 5 черных шаров, во второй—4 белых и три черных. Из первой наудачу взят один шар и переложен во вторую урну. После этого из второй урны был извлечен наудачу шар. Какова вероятность, что он белый?

Событие А—из второй урны извлечен шар;

Н₁—из первой урны во вторую переложен белый шар

Н₂—из первой урны во вторую переложен черный шар.

.

Замечание: при применении формулы полной вероятности события Н₁,Н₂,…,Н_n, образующие полную группу, называются гипотезами.

Теорема 2. Пусть события Н₁, Н₂, …, Н_n образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:

,

Доказательство: По теореме умножения вероятностей

.

Отсюда находим вероятность

. Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.

Пример. Рассмотрим предыдущий пример с учетом того, что из второй урны вынули белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны вынули белый шар. Нужно найти P(H₁|A).

.

.

Замечание. При применении формулы Байеса вероятности называются априорными вероятностями гипотез. Вероятности P(H₁|A),…,P(H_n|A) называют апостериорными вероятностями гипотез.