Дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема в точке и ее аргументам и даны приращения соответственно и . Тогда полный дифференциал первого–го порядка функции определяется формулой

Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , то является функцией и . Кроме того, зависит также от и .

Пусть и — независимые переменные. Приращения независимых переменных и не зависят от и и в этом смысле их можно считать постоянными. Тогда будет функцией только аргументов и . Допустим, что эта функция дифференцируема в точке и ее аргументам даны приращения , (причем, совпадающие с теми, которые вызвали приращение функции с дифференциалом ). Эти приращения вызовут приращение , главная линейная часть которого является полным дифференциалом . Этот полный дифференциал называется дифференциалом 2–го порядка функции в точке и обозначается символом .

Покажем, что дифференциал 2–го порядка выражается через частные производные 2–го порядка, вычисленные в точке и является квадратичной функцией (формой) приращений и .

Применяя к (21) правила дифференцирования и учитывая постоянство dx и dy, получаем:

Если смешанные частные производные

непрерывны в точке и, следовательно, равны, то приводится к виду

т.е. является квадратичной формой функции и .