Метод неопределенных множителей Лагранжа

Пусть функции и дифференцируемы в некоторой области . Тогда задача отыскания точек условного экстремума функции при условиях связи

эквивалентна задаче о нахождении точек обычного (безусловного) экстремума функции Лагранжа:

(28)

Схема метода Лагранжа:

1. Составляем функцию Лагранжа (28).

2. Для отыскания стационарных точек функции Лагранжа находим ее частные производные по всем аргументам

и приравниваем их к нулю.

Получаем систему уравнений с неизвестными:

(29)

Если — решение этой системы, то оно определяет стационарную точку функции при условиях связи (26), в которой функция может иметь условный экстремум.

3. Чтобы установить наличие или отсутствие условного экстремума в каждой стационарной точке , нужно исследовать знак 2–го дифференциала функции Лагранжа

при значениях дифференциалов , не равных одновременно нулю и удовлетворяющих продифференцированным уравнениям связи

Замечание. При решении практических задач во многих случаях наличие условного экстремума в стационарной точке определяется существом задачи.

Пример:

Найдем условный экстремум функции при условии . Составим функцию Лагранжа

.

Система (29) при этом выглядит так:

,

откуда . При этом можно представить в виде

,

поэтому в найденной стационарной точке имеет максимум, а – условный максимум.

Геометрический смысл условного экстремума функции:

Условными экстремумами функции при являются ее экстремумы на линии, образующейся в сечении поверхности цилиндрической поверхностью .