Задача

Поэтому в линии будет создаваться обратная-отражённая волна с непоглощённым током (0.5 А) и мощностью, равной разности поступившей от генератора и поглощённой в нагрузке.

При произвольной нагрузке через любое сечение линии проходят две встречные бегущие волны – падающая и отражённая.

Чисто бегущая волна – волна, которая в процессе распространения нигде не претерпевает отражения, для чего линия передачи должна быть однородной и сопротивление нагрузки должно быть активным и равным волновому сопротивлению линии.

Характер волн в линии определяется отношением сопротивлений нагрузки к волновому сопротивлению линии Z_н / Z_в.

Бесконенчно длинная линия без потерь, питающаяся от генератора ступенчато-изменяющегося напряжения (см. рис. 4)

Напряжение U этого генератора изменяется ступенями ∆u через каждый отрезок времени ∆t = t₀… t₁, t₁… t₂, t₂… t₃, …, в течение которого волна проходит один элементарный участок (см. рис. 4).

При этом условии за время ∆t = t₀… t₁ ёмкость участка 1 зарядится до напряжения ∆u. Затем (t₁… t₂) ёмкость участка 2 зарядится от ёмкости участка 1 до напряжения ∆u, а на участке 1 генератор установит напряжение ∆u = 2∆u. Во время t₂… t₃ под влиянием ёмкости участка 2 возникает напряжение ∆u на участке 3, на участок 2 поступает напряжение ∆u = 2∆u, а на участок 1 генератор подаст уже ∆u = 3∆u. Аналогично к моменту времени t₄ = 4∆t напряжение ∆u перейдёт от участка 3 к 4, 2∆u – от 2 к 3, 3∆u – от 1 ко 2, а на 1 участор генератор сообщит напряжение 4∆u. До момента t = t₈ напряжение генератора уменьшается, после чего оно меняет полярность, но далее возрастает по абсолютной величине.

Рис. 4. Линия без потерь и графики, иллюстрирующие процесс установления напряжения и тока в ней

В одном из состояний, соответсвующем моменту t = 5∆t, волна охватила 5 участков, из которых на начальном напряжении пошло на убыль – от 4∆u до 3∆u. Токи участков 1-5 соответвенно равны:

i₁ = 3∆u / Z_в = 3∆i

i₂ = 4∆u / Z_в = 4∆i

i₃ = 3∆u / Z_в = 3∆i

i₄ = 2∆u / Z_в = 2∆i

i₅ = ∆u / Z_в = ∆i

Эти скачки токов в проводах линии, равные ± ∆i, образуются потому, что на границах участков проходят встречные токи, а именно: i₁ - i₂ = 3∆i - 4∆i = - ∆i, i₂ – i₃ = 4∆i - 3∆i = ∆i, i₃ – i₄ = 3∆i - 2∆i = ∆i, i₄ – i₅ = 2∆i - ∆i = ∆i.

Линия без потерь, питающаяся от генератора синусоидального напряжения (см. рис. 5)

Рассмотрим отрезок линии l = l/4, который подключен к генератору гармонического напряжения u₁ = U_1m sinωt и нагружен на сопротивление Z_н = Z_в. Напряжение u₁ делим на входное сопротивление линии, которое равно в данном случае сопротивлению нагрузки, и получаем мгновенное значение тока на зажимах генератора:

В моменты t = 0, Т/12, Т/6, Т/4 ток i₁ (t), будет равен:

i₁ (0) = I_m sin0 = 0

i₁ (Т/12) = I_m sin(π/6) = 0.5 I_m

i₁ (Т/6) = I_m sin(π/3) = 0.86 I_m

i₁ (Т/4) = I_m sin(π/2) = I_m

Эти ординаты отмечены на временной диаграмме тока в начале линии.

Рис. 5. Распределение тока вдоль ДЛ в фиксированные моменты времени (а) и временные диаграммы тока в фиксированных сечения линии (б)

Теперь проследим изменения тока по временным диаграммам, снятым для фиксированных сечений с координатой х’ = l/12, l/6, l/4 (см. рис. 5(б)) и по кривым распределения тока вдоль линии для моментов времени Т/12, Т/6, Т/4 (см. рис. 5(а)).

Мы помним, что длина волны l - это расстояние, на которое распространяются колебания за период Т, то: за время Т/12 волна тока достигнет сечения х’ = l/12 и на отрезке линии х’ =0… l/12 ток как функция х’ уменьшится от 0.5 I_m до 0; к моменту времени Т/6 волна переместится ещё на l/12 и достигнет сечения l/6 и ток будет равным 0.86 I_m; при Т/4 волна тока уже распространится на весь отрезок линии и ток станет равным I_m – в начале линии.

Математическая запись, телеграфные уравнения и их вывод

Математическая запись

Выведем уравнения бегущих волн напряжения и тока, обращаясь к рис. 6., где:

· u₁, i₁, U_1m, I_1m – мгновенные и амплитудные значения напряжения и тока в начале линии;

· u₂, i₂, U_2m, I_2m – мгновенные и амплитудные значения напряжения и тока в конце линии;

· u_х, i_х, U_хm, I_хm – мгновенные и амплитудные значения напряжения и тока в сечении линии, удалённом от её конца на расстояние х;

· b - коэффициент фазы (волновое число), т.е. разность фаз напряжения (или тока) бегущей волны на концах отрезка линии в одну единицу:

Рис. 6. Схема двухпроводной линии и её элементарного участка

Пусть мгновенное значение напряжения в начале линии равно:

Т.к. речь идёт о бегущихволнах в линии без потерь, то амплитуда напряжения и тока сохраняется неизменной во всех сечениях линии:

Что касается фазы волны, то она в промежуточном сечении с координатой х отстаёт относительно начала линии на b(l – х) и относительно конца линии опережает на bх.

Таким образом, мгновенное значение напряжения в данном сечении линии равно:

А если в качестве исходной величины взять напряжение в конце линии, то:

Зная, что в любом сечении линии бегущая волна тока встречает активное сопротивление, равное волновому сопротивлению, мгновенное значение тока представляем в виде:

В теории ДЛ успешно применяются комплексные числа. И поэтому полученные выражения для напряжения и тока в сечении линии с координатой х записываются в показательной форме так:

где - комплексные амплитуды напряжения и тока.

Если линия не согласована с нагрузкой Z_н ≠ Z_в, то различаю две бегущие волны – падающую с индексом «пад» и отражённую с индексом «отр» в обозначениях.

При отсутствии потерь в такой линии на расстоянии х от её конца напряжение U_хпад и ток I_хпад падающей волны опережают по фазе U_2пад и I_2пад на угол bх, а напряжение U_хотр и ток I_хотр отражённой волны по фазе на bх от U_2отр и I_2отр:

Следовательно, в общем случае результирующие напряжение и ток U_х , I_х в сечении линии с координатой х соответственно равны:

Эти уравнения могут быть использованы для определения напряжения и тока в любом сечении линии.

Телеграфные уравнения и их вывод

Снова используем рис. 6 и условимся, что все величины, относящиеся:

· к началу линии будем обозначать буквами с индесом «1»;

· к концу линии – с индексом «2»;

· сечения, удаленые от конца на х – с индексом «х».

Пусть в линии нет потерь.

Выделим в ней участок бесконечно малой протяжённости dx, примыкающий к сечению с координатой х. провода этого участка имеют сопротивление индуктивного характера, а между проводами имеется ёмкостная проводимость:

Ток с амплитудой I_хm, проходя по проводам участка, вызывает на них падение напряжения с амплитудой dU_хm, а из-за наличия проводимости dY напряжение U_хm вызывает ёмкостный ток dI_хm. Следовательно, если на одном конце элементарного участка амплитуды напряжения и тока U_хm, I_хm, то на другом конце они соотвественно равны U_хm + dU_хm и I_хm + dI_хm, причём:

Возьмём производную по х от обеих частей уравнения системы, затем заменяем первые производные и получаем уравнения, определяющие каждую из переменных в отдельности:

Решения этих уравнений имеют вид:

где

Теперь мы можем получить выражения для напряжения и тока:

При помощи формул Эйлера, где:

переходим от показательной формы комплексных чисел к тригонометрической:

Для того чтобы выражения в скобках представить через изветные величины, мы возьмём первую и вторую производные напряжения и тока по х:

Если сопоставить уравнения, то получим следующее, где далее коэффициент фазы будет равен:

Из формулы мы видим, что коэффициент фазы зависит от частоты и погонных параметров линии.

Далее вводим граничные условия. Результирующее напряжение и ток в конце линии соответсвенно раавны:

Для преобразования разностей напряжения и токов между падующей и отражённой волн подставляем х = 0 в уравнения:

учитывая при этом:

Уравнение с учётом граничных условий даёт:

Затем мы поделим последние выражения на величину коэффициента фазы и получим следующее:

Следовательно:

Режимы работы ДЛ

В зависимости от соотношения между волновым сопротивлением линии и сопротивлением нагрузки линия работает в режиме бегущих, стоячих или смешанных волн.

Бегущие волны – колебания, фаза которых удаляется от источника возбуждения с постоянной скоростью, зависсящей от свойств среды.

Стоячие волны – колебания, полученные в результате сложения двух бегущих волн, направленных навстречу друг другу.

Смешанные волны – совокупность бегущих и стоячих волн.

Коэффициент затухания (a) – показывает степень уменьшения амплитуды напряжения или тока на единицу длины линии.

Входное сопротивление линии (Z_в) – сопротивление, которое оказывает линия бегущей волне, оно активно и одинаково на всём протяжении линии, в том числе и на зажимах генератора (на входе линии).

В таблице 2 приведены режимы работы ДЛ.

Таблица 2

Режим волн	Уравнения напряжения и тока в линии	Свойства волн	a и Zв
Режим бегущих волн		1. Множители sin(ωt - bx’) указывают на то, что в каждом сечении линии, напряжение и ток изменяются во времени синусоидально. По мере распространения волны фаза бегущей волны ωt - bx’ всё больше уменьшается. Значит, синусоидальные колебания воспроизводятся со всё большим отставанием по фазе. 2. Этот сдвиг по фазе обусловлен конечной фазовой скоростью бегущих волн, которая связана напрямую с коэффициентом фазы. 3. В результате фазовая скорость оказывается тем меньшей, чем больше произведение погонных параметров линии:
Режим стоячих волн	в разомкнутой линии на конце		1. В каждом сечении линии имеют место гармонические изменнения тока и напряжения во времени, ведь стоячие волны получаются в результате сложения двух волн. 2. Коэффициенты при sin ωt являются амплитудами напряжения и тока: 3. Отношение амплитуд напряжения и тока в их пучностях равно волновому сопротивлению линии: 4. Фаза напряжения не зависит от х и поэтому на всё протяжении линии одинакова. 5. В любой точке линии между напряжением и током существует сдвиг по фазе 90О.
в короткозамкнутой линии
Коэффициенты, характеризующие бегущие и стоячие волны: Коэффициент отражения: Зависимость между коэффициентами бегущих и стоячих волн:
Режим смешанных волн