Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

(для комплексных пространств).

Определение. , гдеx — это некоторое число, которое называют собственным вектором оператора А, а λ - собственным значением.

- каждому собственному вектору соответствеут единственое собственное значение.

В пространстве L введём базис: если A_e -матрица оператора А, то A_eX = λ X.

- характирестический многочлен оператора А.

Условие наличия собственных векторов: F_A (λ) = 0 - хар-е ур-е ( - корни ур-я, подставляем в систему и находим собственные векторы.)

Для данной матрицы A, χ(λ) = det(A − λ E), где Е — единичная матрица, является многочленом от λ, который называется характеристическим многочленом матрицы A (иногда также "вековым уравнением" (secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение Av = λ v имеет не нулевое решение, то (A − λ E) v = 0, значит матрица A − λ E вырождена и ее определитель det(A − λ E) = χ(λ)равен нулю.

27.В n-мерном линейном пространстве фиксируем два базиса e1,e2,…,en и e’1,e’2,…e’n; первый из них назовём старым, второй новым. Предположим, что известно преобразование, переводящее старый базис в новый.

Теорема. Если e1,e2,…,en и e’1,e’2,…e’n – два базиса линейного пространства, A – матрица линейного преобразования в старом базисе e1,e2,…,en, то матрица B этого преобразования в новом базисе e’1,e’2,…e’n имеет вид

B=T^-1AT.

где T – матрица перехода от старого базиса к новому.

Следствие: Если линейное преобразование имеет невырожденную матрицу в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырожденной в любом другом базисе.

Матрица B должна быть подобна матрице A, только в этом случае эти матрицы являются матрицами одного и того же линейного преобразования пространства V_n в соответствующих базисах.