Базис. Размерность

§ Конечная сумма вида

называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами .

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

§ Элементы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу θ. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.

§ Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

§ Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:

§ Любые n линейно независимых элементов n -мерного пространства образуют базис этого пространства.

§ Любой вектор можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

.

Конечномерное пространство: Евклидово пространство имеет размерность 3, за его базис можно выбрать тройку векторов

Бесконечномерное пространство: Линейное пространство называется бесконечномерным, если для любого целого числа в нем найдется линейно независимая система, состоящая из векторов.
Пример: Линейное пространство непрерывных на сегменте функций является бесконечномерным. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть степенные функции . Нетрудно установить их линейную зависимость.

24. Евкли́дово простра́нство — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно n -мерное евклидово пространство обозначается , хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение .

Аксиомы скалярного произведения:

1. (y, x) = (x, y);

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3. (αx, y) = α (x, y);

4. (x, x)>0 " x ≠ θ.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве.

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

,

в простейшем случае (евклидова норма):

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).