Матричные операции

Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера.

Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть

A + Θ = A

Все элементы нулевой матрицы равны нулю.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы.

§ Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

§ Коммутативность сложения: A + B = B + A.

§ Ассоциативность умножения: A (BC) = (AB) C.

§ Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц.

§ Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A (B + C) = AB + AC;

(B + C) A = BA + CA.

§ С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения.

§ Свойства операции транспонирования матриц:

(A^T) ^T = A

(AB) ^T = B^TA^T

(A ^{− 1}) ^T = (A^T) ^{− 1}, если обратная матрица A ^{− 1} существует.

(A + B) ^T = A^T + B^T

detA = detA^T

16. Едини́чная ма́трица — квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.