Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Извлечение корня n-й степени из комплексного числа





 

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число w, которое, будучи возведено в степень n, даст число z, то есть

w = , если wn= z.

Корень n-ой степени из числа z = r(cos j + i sin j) имеет n значений, определяемых по формуле

 

w = = (cos( ) + i sin ( )) (10)

или w = ,

где j - любое фиксированное значение аргумента, а понимается в арифметическом смысле (как неотрицательное вещественное число); число k принимает n значений:

k = 0, 1, 2, ... , n - 1 .

Геометрически числа wk располагаются в вершинах правильного n-угольника, вписанного в круг радиуса с центром в начале координат.

Примеры.

1. Найти все корни третьей степени из числа z = 1.

Решение.

 

k=0;

 

k=1;

 

 

k=2;

 

 

2. Решить уравнение x4 + 16 = 0

Решение:

x4 = -16 ; x = . Так как -16 = 16 (cos p +i sin p), то

 

x = 2 (cos ( ) + i sin ( )) ;

k = 0 ; x0 = 2 (cos ( ) + i sin ( )) = 2 ( + i ) = + i ;

k = 1 ; x1 = 2(cos ( ) + i sin ( )) = 2 (- + i ) =

 

= - + i ;

k = 2 ; x2 = cos ( ) + i sin ( )) = 2 (- - i ) =

 

= – - i ;

k = 3 ; x3 = cos ( ) + i sin ( )) = 2 ( - i ) =

 

= - i .

 

Варианты заданий.

 

5.1. Образец решения заданий.

Условия задач:

1. Дано комплексное число z. Построить точки z и .

Найти |z|, | | , arg z, arg .

2. Найти вещественную и мнимую части данных комплексных чисел.

3. Найти все корни данных уравнений.

4. Найти такие вещественные x и y, чтобы выполнялось данное равенство.

5. Написать такое квадратное уравнение, для которого x1 является корнем.

6. Записать данное комплексное число в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

 

Примеры.

 

1. z = -8 + 4i

 

Решение:

= -8 - 4i |z| = | | = = j = arg z tg j = - j = p - arctg arg z @ 1530   arg @ - 1530    

 

2. а) z =

Решение:

 

z = = = + i ;

 

z = 0,9 + 2,3i ; Re z = 0,9 ; Im z = 2,3

 

б) z = 4i153 - 2i122 + i20 - i7

Решение:

Так как i2 = -1, то i3 = -i , i4 = 1.

z = 4i152× i - 2i120× i2 + i20 - i4×i3 = 4i + 2 + 1 + i = 3 + 5i

Re z = 3 Im z = 5

 

в) z =

 

Решение:

z = = =

= = = (cos + i sin ) =

 

= (cos + i sin ) = (- + i ) = - + i

 

Re z = - Im z =

 

3. а) x2 - 8x + 41 = 0

Решение:

x1,2 = 4 ± = 4 ± = 4 ± 5i

 

б) x3 - 1000 = 0

Решение:

x3 = 1000 = 1000(cos 0 + sin 0)

xk = (cos + i sin )

k = 0 ; x0 = 10 (cos 0 + i sin 0) = 10

k = 1; x1 = 10 (cos + i sin ) = 10 (- + i ) = -5 + 5i

k = 2; x2 = 10 (cos + i sin ) = 10 (- - i ) = -5 - 5i

 

4. = x + y +2i

Решение:

3 + ixy = x + y + 2i

Приравняем вещественные и мнимые части:

x = 1 , y = 2 или x = 2 , y = 1

5. x1 = 1 - 6i

Решение:

x2 = 1 + 6i

Если квадратное уравнение имеет вид x2 + px + q = 0 , то

x1 + x2 = - p x1 + x2 = 2

x1×x2 = q x1×x2 = (1 - 6i)( 1 + 6i) = 1 + 36 = 37

Получили уравнение: x2 - 2x + 37 = 0

6. z = 1 + sin 2320 + i cos 2320

Решение:

По формулам приведения

sin 2320 = cos 1420

cos 2320 = - sin 1420

z = 1 + cos 1420 - i sin 1420 = 2 cos 710(cos(-710) + i sin (-710))

Тригонометрическая форма:

z = 0,65 (cos(-710) + i sin (-710))

710 @ 1,24 рад.

Показательная форма:

z = 0,65 e1,24 i

Вычислим 1 + cos 1420 @ 0,211 ; sin 1420 @ 0,614

Алгебраическая форма:

z = 0,211 + 0,614i

 

5.2. Варианты заданий.

 

Задания Задания
1. z = -2 + 3i 2. а) z = б) z = 3i171 - 2i123+ i10 - i в) z = 3. а) 2x2 - 6x + 13 = 0 б) x7 + 1 = 0 4. 5 + ixy = x + y + 4i 5. x1 = 2 + i 6. 1 + sin 120 + i cos 120 1. z = 3 -2i 2. а) z = б) z = 3i151- 2i103+ i12 - i2 в) z = 3. а) 2x2 + 4x - 11 = 0 б) x7 - 1 = 0 4. 3x -y + ixy = 3 + x + 2i 5. x1 = 1 + 2i 6. 1 + sin 180 + i cos 180
1. z = -5 + 2i 2. а) z = б) z = 3i147+ 2i130+ i26 - i21 в) z = 3. а) 3x2 + 4x + 12 = 0 б) 32x5 + 1 = 0 4. 7xy + 3i = 2x + y + 6xi 5. x1 = 1 -5i 6. 1 - sin 220 + i cos 220 1. z = 11 + 7i 2. а) z = б) z = 3i137- 2i131- i2 + i1 в) z = 3. а) 2x2 + 2x + 17 = 0 б) 32x5 - 1 = 0 4. = 11 + 2i 5. x1 = 5 -i 6. 1 - sin 240 + i cos 240
Задания Задания
1. z = -5 - 2i 2. а) z = б) z = 6i144+ i117-3i13- 2i2 в) z = 3. а) 3x2 + 10x + 15 = 0 б) 64x6 - 1 = 0 4. 3xy - 7i = 5. x1 = 3 + 2i 6. 1 + cos 220 - i sin 220   1. z = -7 -3i 2. а) z = б) z = 6i124+ i97- 3i91 + 2i5 в) z = 3. а) 5x2 + 4x + 1 = 0 б) 64x6 + 1 = 0 4. 3x -1 + iy = 5. x1 = 2 + 5i 6. 1 + cos 240 + i sin 240  
1. z = -3 + 5i 2. а) z = б) z = 5i913+ 2i96- 3i17+ 5i7 в) z = 3. а) 2x2 + 4x + 11 = 0 б) x3 + 125 = 0 4. 2x + y + ixy = 5. x1 = 2 -3i 6. 1 + sin 1160 + i cos 1160 1. z = 3 + 5i 2. а) z = б) z = i1201- 5i403- 3i17 + i6 в)z = 3. а) 2x2 - 13x + 100 = 0 б) x5 + 32 = 0 4. 11xy -2i = 5. x1 = -3 +i 6. 1 + cos 200 - i sin 200  
Задания Задания
1. z = -4 + 2i 2. а) z = б) z = 2i153- 5i47+2i49- i18 в) z = 3. а) 3x2 + 4x + 13 = 0 б) x6 - 64 = 0 4. 3+x+y + 2i = 5. x1 = -3 + 5i 6. 1 + sin 220 + i cos 220 1. z = 8 - 4i 2. а) z = б) z = 2i63- 5i57+ 2i23- i10 в) z = 3. а) x2 - 8x + 21 = 0 б) x6 + 64 = 0 4. 5x + 2iy = 5. x1 = -3 - 5i 6. 1 + sin 240 + i cos 240  
1. z = 7 + 14i 2. а) z = б) z = 5i713+ 2i316- 3i15+ 5i6 в) z = 3. а) 2x2 - 8x + 13 = 0 б) x3 - 125 = 0 4. x + y + 4i = 5. x1 = 2 +7i 6. 1 + sin 2020 + i cos 2020   1. z = -1 - 4i 2. а) z = б) z = 3i313-2i202+5i15+ i17 в)z = 3. а) 2x2 + 4x + 15 = 0 б) 81x4 - 1 = 0 4. 3x +2iy = 5. x1 = 7 +i 6. 1+ cos 1160 + i sin 1160  
Задания Задания
1. z = -3 + 5i 2. а) z = б) z = 5i114- 2i75+i36- i5 в) z = 3. а) x2 - 13x + 100 = 0 б) x4 - 81 = 0 4. 6 + 2x + 2xi = 5. x1 = 3 + 5i 6. 1 + sin 980 - i cos 980 1. z = 2 -6i 2. а) z = б) z = 5i134+ 2i79- i34- 2i7 в) z = 3. а) 2x2 + 8x + 15 = 0 б) x4 + 81 = 0 4. 9 + 7ixy = 5. x1 = -3 + 2i 6. 1+ sin 1000 + i cos 1000  
1. z = 7 + 3i 2/ а) z = б) z = 3i197- 2i101+ 3i51+ i12 в) z = 3. а) 6x2 + 4x + 1 = 0 б) 81x4 + 1 = 0 4. 6xy + 3i = 5. x1 = - 3 -5i 6. 1 - cos 160 - i sin 160   1. z = -2 - 3i 2. а) z = б) z = 3i187-2i91+ 3i33- i10 в)z = 3. а) 3x2 + 8x + 15 = 0 б) x3 - 125 = 0 4. = 2y + x + 6yi 5. x1 = 3 +5i 6. 1 - cos 180 - i sin 180
Задания Задания
1. z = 1 - 4i 2. а) z = б) z = i571- 2i342+3i49- 2i14 в) z = 3. а) x2 + 2x + 17 = 0 б) x5 + 243 = 0 4. 3x + 2y + ixy = 5. x1 = -2 - 3i 6. 1 + cos 160 + i sin 160   1. z = 11 + 22i 2. а) z = б) z = i197-2i142+3i79- 2i13 в) z = 3. а) 3x2 + 6x + 13 = 0 б) 64x6 - 1 = 0 4. 5xy + 2i = 5. x1 = 12 + 5i 6. 1 + cos 200 + i sin 200  
1. z = -3 - 5i 2. а) z = б) z = 5i917- 2i412- 3i17+ 5i11 в) z = 3.а) 2x2 + 4x + 11 = 0 б) 125x3 + 1 = 0 4.2x + y + ixy = 3 + x +2i 5.x1 = - 2 +3i 6. 1+ sin 1160 + i cos 1160 1.z = 7 - 14i 2.а) z = б) z = 5i717+2312- 3i15+5i6 в)z= 3.а) 2x2 + 8x + 13 = 0 б) 125x3 - 1 = 0 4. = 3 - ixy 5.x1 = 2 -7i 6. 1+ sin 2020 + i cos 2020
                 

 

Задания Задания
1. z = -2 - 3i 2. а) z = б) z = 3i171- 2i123+i23- i5 в) z = 3. а) 2x2 - 6x + 13 = 0 б) x7 + 1 = 0 4. 5 + ixy = x +y +4i 5. x1 = 2 - i 6. 1+ sin 120 + i cos 120 1. z = 3 + 2i 2. а) z = б) z = 3i157- 2i103+ i15- i10 в) z = 3. а) 2x2 + 4x + 11 = 0 б) x7 - 1 = 0 4. 3x -y+ ixy = 3 + x +2i 5. x1 = 1 + 2i 6. 1+ sin 240 + i cos 240  
1. z = -5 - 2i 2. а) z = б) z = 3i147+ 2i131- i10+ i7 в) z = 3.а) 3x2 + 4x + 12 = 0 б) 32x5 + 1 = 0 4. 7xy + 3i = 2x + y + 6xi 5. x1 = 1 +5i 6. 1 - sin 220 + i cos 220 1. z = 11 + 7i 2. а) z = б) z = 3i137+2i123- i6+ i5 в)z = 3. а) 2x2 + 2x + 17 = 0 б) x5 - 32 = 0 4. = 3x + 4y + ixy 5. x1 = 5 +i 6. 1 - sin 240 + i cos 240  

 

Задания Задания
1. z = 5 + 2i 2. а) z = б) z = 6i144+ i117-3i13+ 2i10 в) z = 3. а) 3x2 + 10x + 15 = 0 б) x6 - 64 = 0 4. 3xy -7i = x +2y +6iy 5. x1 = 3 - 2i 6. 1+ cos 220 - i sin 220 1. z = -7 + 3i 2. а) z = б) z = 6i124+ i97- 3i13+ 2i5 в) z = 3. а) 5x2 + 4x + 1 = 0 б) x6 + 64 = 0 4. 3x -1+ iy = 6xy +3i 5. x1 = 2 - 5i 6. 1+ cos 240 - i sin 240
1. z = 3 + 5i 2. а) z = б) z = i1001- 5i507- 3i12- i8 в) z = 3.а) 2x2 - 10x + 15 = 0 б) 32x5 - 1 = 0 4. 1+3xy + ix = 9 + 7ixy 5. x1 = 1 +3i 6. 1 + cos 180 + i sin 180   1. z = 3 + 6i 2. а) z = б) z = i138+3i127- i12+ 4i7 в)z = 3. а) 2x2 - 2x + 17 = 0 б) x5 - 243 = 0 4. = 3x + 4y + ixy 5. x1 = 5 +2i 6. 1 - sin 250 + i cos 250  

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1. – М: Наука, 1996.

 

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М: Высшая школа, 1999.

 

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М: Высшая школа,2007.

 

4. Киселев А.П. Алгебра. ч.2. – М: Физматлит, 2005

 

 








Date: 2015-07-02; view: 986; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.018 sec.) - Пожаловаться на публикацию