Корни из комплексного числа и их вычисление

2.5.1. Определение. Пусть n ¾ натуральное число. Корнем n - й степени из комплексного числа a называется такое комплексное число b, что = a.

Корень n -й степени из комплексного числа a обозначается через .

2.5.2. Теорема. Существует в точности n различных значений корня n - й степени из комплексного числа a. Они вычисляются по формуле

= (cos + i sin ), (2.5.1)

где r ¾ модуль числа a, j ¾ его аргумент, l ¾ произвольное целое число, k пробегает все значения от 0 до n -1.

Таким образом, множество значений корня n -й степени ¾ следующее

= (cos + i sin . (2.5.2)

2.5.3. Упражнение. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

Решение. б) Найдём тригонометрическую форму числа -1: -1= =cos p + i sin p. Тогда по (2.5.2) имеем

={ w_k =cos + i sin | k =0, 1, 2, 3}.

Найдём каждое значение w_k в отдельности:

w ₀ = cos + i sin = + i;

w ₁ = cos + i sin =cos + i sin = - + i;

w ₂ = cos + i sin =cos + i sin = - - i;

w ₃ = cos + i sin =cos + i sin = - i;

Ответ: б) ={ + i, - + i, - - i, - i }.

2.5.4. Вычисление квадратного корня из комплексного числа в большинстве случаев удобно производить по следующей схеме. Пусть требуется найти . Будем искать в виде x + yi:

= x + yi. (2.5.3).

Возведём обе части (2.5.3) в квадрат: a + bi =(x ²- y ²)+2 xyi. Теперь, приравняв в обеих частях действительные и мнимые части, приходим к системе

решая которую, находим x и y.

Например, пусть требуется найти . Положим = = x + yi, откуда получаем -28+8 i =(x ²- y ²)+2 xyi и приходим к системе

Выражая из второго уравнения y через x (y = ) и подставляя его в первое, приходим к уравнению x ²- =-28, которое приводится к виду x ⁴+28 x ²-16=0. Оно - биквадратное. Положим t = x ² и решим полученное квадратное уравнение t ²+28 t -16=0. Получаем решения: t ₁=-14+2 и t ₁=-14-2 . Второе отбрасываем из рассмотрения, так как x = должен быть действительным. Поэтому x _1,2= . Отсюда y _1,2= , то есть

={ + i, - - i }.

2.5.5. Упражнение. Вычислить , , , .

2.5.6. Можно показать, что квадратное уравнение ax ²+ bx + c =0, где a, b, c Î C, имеет корни .

2.5.7. Упражнение. Решить уравнения:

а) x ²-1=0; б) x ²+2=0; в) x ²-2- i =0; г) x ²+2 x +2=0;

д) x ²+(2+ i) x +(3-2 i)=0; е) 4 x ²-(2- i) x +(6-2 i)=0.

Решение. д) Корнями являются числа

x _1,2= .

Найдём отдельно выражение под корнем:

(2+ i)²-4×(3-2 i)=4+4 i -1-12+8 i =-8+12 i.

Поэтому = . Этот корень будем искать по правилу, изложенному в 2.5.4:

-8+12 i =(x ²- y ²)+2 xyi, откуда Далее, опуская комментарии, имеем y = , x ²- =-8, x ⁴+8 x ²-36=0, t = x ², t ²+8 t -36=0, D =8²-4×(-36)=208=16×13, t =2 -4, t _{1, 2}= =-4±2 , x =± , y =± , =±( + i). Теперь

x _1,2= = =

= =

= .

Ответ. x ₁= ,

x ₂= .

[1] Понятие «множество», другие понятия и обозначения,связанные с ним, см. Приложение 3.

[2] Ниже в угловых скобках мелким шрифтом приводятся комментарии к преобразованиям